江苏龙网

  1. 主页 > 生活百科 > >

从有理数与无理数的比较开始 有理数和无理数


从有理数与无理数的比较开始 有理数和无理数

文章插图
有理数和无理数(从有理数和无理数的比较说起)
有理数数不胜数 。
无理数数不胜数 。
【从有理数与无理数的比较开始 有理数和无理数】谁有更多？还是同样的金额？
无限和无限 ， 你能比较谁多谁少吗？
数轴上的点对应有理数还是无理数？
有理数和无理数在数轴上是如何分布的？
NO.1如何比较无限
当我们比较一个有限的数字时 ， 我们只需要比较哪个更大的具体数字 。鸡有两条腿 ， 兔子有四条腿 ， 所以兔子有更多的腿 。有理数无数 ， 无理数也无数 。也许我们可以认为有无数个数字 ， 都是取之不尽的 。然后也是一样多 ， 但其实无穷也是可以分大小的 ， 因为有限数的方法不能用在无穷的情况下 。
怎么无限？

所有的正数和负数一样多 。
取正集中的任意一个正数 ， 可以在负集中找到与之对应的唯一的负数 。比如在正集中取1 ， 负集中就会有-1 ， 在正集中取 ， 负集中就会有-1 ， 有正数就有对应的负数 。
我们可以建立正负集之间的一一对应关系 。所以正数和负数一样多 。
同理 ， 我们可以得出结论 ， 奇数和偶数一样多 。
取任意一个奇数2n-1 ， 就会有一个偶数2n与之对应 。同样 ， 我们可以在奇数和偶数集之间建立这种一一对应的关系 ， 所以奇数和偶数一样多 。

我们称一个集合中元素的个数为集合的基数 ， 例如集合{1}的基数为1 ， 集合{1 ， 2}的基数为2 。
判断无限集合基数相等的方法是建立两个集合之间的一一对应关系 。
第二 ， 整体可以等于部分
要是关于无穷大的比较也像上面这么简单就好了 ， 那我们继续看 。
所有的偶数都和所有的整数一样多 。
什么？偶数不是和奇数一样多吗？奇数和偶数一起构成整数 。为什么偶数和整数一样多？
整数集中的任意整数n在偶数集中都会有一个数2n与之对应 ， 所以我们还是可以建立整数集和偶数集的一一对应关系 ， 偶数集中的任意偶数都会有一个唯一确定的元素与之对应 。

整体等于部分！这是一种我们在有限中不可能存在的情况 ， 但在无限集合中确实发生了 。
让我们看另一个图形例子 。在△ABC中 ， 假设BC边为2 ， DE是BC边对面的中线 ， 所以DE=1 。取BC边上任意一点M ， 连接AM ， 那么AM和DE必有一个交点 ， 记为N ， 任意一个M点都会有一个N点与之对应 。
这意味着长度为2的线段上的点和长度为1的线段上的点一样多！！！

格奥尔格·康托甚至以此作为无限集合的定义:如果一个集合能与它的一部分形成一一对应 ， 那么它就是一个无限集合 。

知道了无穷的性质 ， 我们得出结论 ， 自然数、偶数、整数都有相同的个数 。你可能会质疑 ， 既然都是无限的 ， 那么量也是一样的 。为什么我们需要讨论这么多？
需要 ， 这些集合的基数是相等的 ， 因为它们有一个共同的特点:可数性 。
所谓可数 ， 可以理解为能够找到一个规则把所有的序列都列出来 ， 然后按照这个顺序一直数下去 。

例如 ， 自然数 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5...例如 ， 偶数 ， 0 ， 2-2 ， 4-4 ， 6-6...而且只要都列出来了 ， 就可以建立一一对应 ， 按顺序对应就好 ， 甚至不知道具体的规则 ， 所以只要是可数的 ， 一个集合中的元素就可以说了 。

NO.3有理数是否可数？可数的
有理数可以用Q/P的形式表示 ， 取正有理数的部分 。我们可以按照p+q的值从小到大列出所有的正有理数 。具体顺序请参考下图 。

根据上述规则的信息资源网 ， 可以列出所有的正有理数 ， 也可以列出负有理数 。
所以有理数集也是可数集 。
补充可数集合的概念:能与自然数集合建立一一对应关系的集合 。
可数集的基数是最小的无限量 ， 康托尔把这个量记为0(希伯来语 ， 读作“Alev zero”) 。同时 ， 康托尔指出Alev零点是最小的无穷大 。比Alev零大的无穷大在哪里？


推荐阅读


上一篇：茶道里座位的讲究

下一篇：小乔墓在何处？ 小乔怎么死的