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从有理数与无理数的比较开始 有理数和无理数( 二 )


4号 ， 上场！不合理的
无理数可数吗？还是实数可数？
答案是:没有
康托尔的对角线法被用来论证这一点 。证明的过程很短 ， 但是可以称得上精致！(妈妈问我为什么跪下来看丛书)
考虑整组实数是否可数 ， 我们首先考虑0到1之间的所有实数是否可数 。假设有一个规则可以列出0到1之间的所有实数:
0.1598545445……
0.6589745454……
0.5968974132……
0.9887946456……
0.3521587487……
0.1659842412……
……
上面的数字是随便写的 。这时康托尔问 ， 0.267865在哪里？
你怎么得到这个号码的？取第一个数字的第一个小数加1 ， 第二个数字的第二个小数加1 ， 第三个数字的第三个小数加1 ， 第四个数字的第四个小数加1...也就是上面数字中的红色数字加1 。
如果0.267865...在第n个位置 ， 它的第n个小数应该等于第n个数(也就是它本身)的第n个小数加1 。
简单来说 ， 这个数的第n个小数等于它自己的第n个小数加1 。显然这是不可能的！

所以没有办法列出0到1之间的所有实数 ， 当然也没有办法列出所有的强弱 。
像这样的无穷大叫做不可数无穷大 。不管你承认不承认 ， 它也是无限的 ， 可以分门别类 。无理数集和实数集称为不可数集 。
取数轴上的任意一条线段 ， 由这些连续点组成的集合就是一个不可数集合 ， 也称为连续统 。基数是c 。
第五名c=?1
既然明确了有理数代表可数无穷 ， 而无理数代表不可数无穷 ， 那么谁更可数 ， 谁更不可数呢？换句话说 ， 0和C哪个更大？
其实从概率的角度来说 ， 你取数轴上的任意一点 ， 得到有理数的概率都是0 。
无理数是无限循环小数 。有理数包括整数、有限小数和无限循环小数 。我们可以把整数和有限小数想象成后面有零个小数位的数字 。例如 ， 1.8 = 1.800000...后面是零个小数位 。
现在让我们用小数位来填充一个数字 。我们需要填的小数位有无数个 ， 填的数字都是随机选取的 ， 所以取0或者得到一列循环数的概率是0 。有了这样的想法 ， 无理数不仅比有理数多 ， 而且多得多！
怎么可能大于无穷大？
对于集合{1} ， 它有两个子集:空 set和{1} ， 子集的基数为2.1；对于集合{1 ， 2} ， 它有四个子集空集合{1}、{2}和{1 ， 2} 。由子集组成的集合的基数是2.2 ， 以此类推 。如果一个集合的底是N ， 那么由子集组成的幂集的基数就是2 N 。
如果原集合的基数为0怎么办？
其实康托尔已经证明了C = 2 ^ 0 ， 其中0是无穷大 ， 那么你能想象C有多大吗？

康托尔做的不止这些 。他还猜测0和C之间不存在其他无穷大 ， 即0之后的下一个无穷大是C ， 即C = 1 (1是0之后的一个无穷大) ， 这就是著名的“连续统假说” 。在1900年的世界数学家大会上 ， 希尔伯特把这个问题列为20世纪信息资源网络要解决的23个重要数学问题之首 。
六号数轴见！
关于数轴 ， 我们都知道数轴上的点与实数一一对应 。或许有这样的想法 ， 任意两个有理数之间都有无数个有理数信息资源网络 ， 有理数和有理数之间会有鸿沟 ， 也就是无理数 。我们不知道有多少差距 ， 但两个有理数之间必然有无数个有理数 。
所以有人会说有理数就像砖块一样 ， 构成数轴的主体 ， 而无理数就像胶水一样 ， 把砖块之间的缝隙补上 ， 形成一个完整的数轴 。
从两者的数量对比来看 ， 显然上面的想法都是湿的 ， 无理数更像是构成数轴的砖块 ， 占据了数轴的绝大多数 。说白了 ， 其实就是这样一个问题:有理数和无理数在数轴上是如何分布的？
借用狄利克雷函数:

这就是把有理数和无理数分开 。函数图像是什么样的？也许是这样？

显然 ， 这只能是美好的想象 。要是能画出来就知道有理数和无理数是怎么分布的了 。就是存在但画不出来的函数 。数轴上看不到 。
第七类可数无限可加性
讲了半天可数和不可数 ， 却连数轴上的都分不开 ， 这两个无限还有什么意义？


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