我们听过的很多动人心魄的神话可能是始于一个真实的故事,它曾在历史的某个时间点上真实地发生过,但在代代相传的传颂中,被一点一点的蒙上传奇的色彩,让真相被一点一点地被抛在脑后 。神话之所以总能在人们心中存留和演化,或许是因为它们多少承载着一些隐藏的真理,能够满足人类在心灵上的某些需求 。
以严谨的逻辑著称的数学似乎是神话的一个对立面,但有时,一些数学真理会在缺乏理解的复述之下,以“神话”般的形式进入到公众意识 。今天我们要说就是数学中的一则“神话”——黄金比例(黄金分割率) 。
什么是黄金比例?
黄金比例是一个神奇的常数,我们通常用希腊字母φ来表示它 。它出现在很多文学和艺术作品中,比如在小说和电影《达芬奇密码》就提到了这个有着神秘色彩的数字 。之所以说它神秘,是因为与数学中的许多其他概念相比,这个数字的确有着更多的“神话”:它被许多作家描述为是自然界所有美丽图案的基础,是神圣的比例;也被称为是许多艺术作品和建筑物的设计基础,如希腊的帕特农神庙和埃及的金字塔 。
黄金比例最早出现在欧几里得的著作《几何原本》中,欧几里得将它定义为:
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那么,φ究竟等于多少呢?我们知道,a / b = φ,且 (a + b) / a = φ,因此上图中的等式可以变成:
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对这个方程进行求解,就能得到:
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由于φ必须大于1,所以我们取φ = 1.61803…它是一个无理数,这并不难理解,因为根号5正是一个无理数,也就是说它是一个无法被写成两个整数之比的数 。这是黄金比例的一个非常重要的性质 。
一维的黄金比例还可以延伸为所谓的黄金矩形,我们可以根据以下步骤画出一个黄金矩形:
1、首先需要画一个边长为a的正方形;2、然后取正方形的一条边(比如底边)的中点:以该中点为圆心,以中点到与对边相连的一个顶点的距离为半径画圆;3、延长底边,让它与圆弧相交,得到的交点便是黄金矩形的一个角 。
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除了黄金矩形之外,黄金比例φ还有另一个可爱的几何表达,那就是它是一个边长为1的正五边形的对角线的长度 。(读者可以试着用余弦定理来检验哟!)
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如上图所示,由对角线和底边形成的边长为1、φ、φ的等腰三角形BAD,被称为黄金三角形,它在五重对称的研究中频繁出现,例如五角星就是由五个黄金三角形构成的:
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其实,定义黄金比例的方法有很多,一个非常著名的例子是斐波那契数列:
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这个序列中的下一项是前两项之和,是由斐波那契提出的一种用来理解兔子种群增长的方法,它在理解人口增长方面具有重要作用 。
这个数列是如何与黄金比例联系在一起的呢?最早发现这一惊人秘密的是开普勒(Johannes Kepler),他注意到,如果取这个序列中的两两相连的数字之比(后一项比前一项),得到的比值就可以形成数列:
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而这个数列最终会收敛到一个熟悉的数字——1.618… 这个数列的极限正是黄金比例 。
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黄金比例的无理性,使我们可以在黄金矩形中看见能无限循环下去的斐波那契数列的比 。
被“神”化的黄金比例
黄金比例是一个有趣的数字,它有很多奇特的性质,也有许多有用的应用 。这些奇特的性质吸引了一些数学家的关注,然而对于公众而言,它的这些属性却意外的被提升到了一个不恰当的位置 。
在数学家眼中,重要的常数有很多,比如√2——它是边长为1的正方形的对角线长度,也是一张A4纸的长宽比例 。其实1、√2、√3在几何中的出现频率都远高于φ 。
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