黄金比例的真正神奇之处( 三 ) _黄金比例

卢卡·帕西奥利是达芬奇的朋友，他在1509年写了一本名为《神奇的比例》的书，这本书虽然以黄金比例为题，但并没有基于黄金比例主张任何美学理论。另外，经常有人说达芬奇在画作中用到了黄金比例，最著名的例子是画作《维特鲁威人》，然而这些比例与黄金比例并不相符，没有直接证据证明达芬奇用到了这种比例，他只是在他的作品中提到了整数比。
泽辛曾将黄金比例描述为“自然和艺术领域的美丽和完整……它是一种至高无上的精神理想，渗透到所有的结构、形式和比例中，无论是宇宙的还是个人的、有机的还是无机的、声学的还是光学的。”然而，这种说法继而影响了许多其他人，为“黄金比例”这一现代神话奠定了基础。
还有观点称，黄金比例在音乐作曲中也很重要。然而与艺术和建筑一样，几乎没有任何证据可以证明这一观点。与音乐紧密相连的数字是2的12次方根，不是黄金比例。
这种夸大的“神话”其实很令人不安，它会误导很多人，让人们对数学的运作产生错误的认识。当那些深信这些神话的人发现事实并非如此时，可能会对数学解释世界的真实能力失去信心。
黄金比例的真正神奇之处
如果前面说的都是在给黄金比例摘到“神奇”的帽子，接下来我们要说的就是黄金比例的真正神奇之处。
毫无疑问，黄金比例在数学和科学中是一个非常奇妙的数字，而真正让它有别于其他数字的一个重要属性是它的无理性。前面我们说道，φ是一个无理数，也就是说它无法被表示成任何分数，然而更令人惊讶的是，那就是它是无理性最强的一个无理数。这意味着它不仅不能被精确地表示为分数，甚至很难用分数来近似。这是一个非常特殊的性质。
为什么说φ是无理性最强的一个数字呢？数学家在对一个无理数进行近似时，会用到由两个整数（m和n）组成的分数m/n，对任意无理数z来说，不同的n值对应不同的m值。要找到z的最佳近似，则是要找出能使z与近似分数之差的绝对值，|z - m/n|，最趋近于0的n，换句话说，就是找到近似误差最小的n 。

文章插图
上图中所比较的是π（红）和φ（蓝）的近似误差图，横坐标轴表示的是n从1到200的取值，纵坐标是无理数与近似值之差 “Error =|z - m/n|” 。可以看出，对于π来说，当n=7和n=113时，能给出非常好的π的近似。这也正是我们所熟知的 π ≈ 22/7和355/113 。
与π相比，黄金比例φ的近似情况显然没有那么明朗。它的近似误差曲线比其他无理数的近似误差曲线收敛得更慢。而这背后的原因，是因为φ具有一个特殊性质——它可以被表示为一个“连分数”，使得φ可以被写成这样一种形式：

文章插图
它是恒等式 φ - 1 = 1/φ 的一个直接推论。
φ的连分数形式有一个关键的特征，那就是每一项都有1存在，这些分母中所包含的1会导致较大的误差，从而使得整个分数收敛缓慢。
相比之下，π的连分数是这样的：

文章插图
可以看到它的分母中的数字都很大，比如7、15 、292等等。这些大的数字会使连分数的误差小得多。
然而，这种用分数对φ进行近似的困难程度，也使它成为了数学家和计算机科学家在研究同步过程时的一个非常有用的数字。可以说，虽然黄金比例不同于公众所想象的那般神奇，但当你了解了它真实的样子之后，或许会更加惊叹于数学的真正魅力！
本文节选并整理自数学家Chris Budd于2020年02月11日，在格雷沙姆学院（Gresham College）发表的演讲《伟大的数学神话》（Great Mathematical Myths），在Budd的演讲中，他还提到了著名的三门问题和四色定理等，全文链接可参阅：https://www.gresham.ac.uk/lectures-and-events/great-maths-myths
封面图来源：mayeesherr. / Flickr
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来源：中科院高能所

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