形式逻辑的数学原理(3)：分类
分类是形式逻辑的基础术语之一 。所谓分类 ， 即把一个概念分为若干类别 。 例如 ， 可将“人”分男人与女人 ， 女人又可分为女权主义者和非女权主义者 。 由于人脑能够近乎本能地遵循分类的逻辑规则 ， 因而形式逻辑和数理逻辑迄今都未从数学角度定义分类 。 为完善形式逻辑的数学化体系 ， 本帖尝试给出分类及其相关术语的集合论定义 ， 并据此构造分类规则的离散模型 ， 然后导出一个描述分类结果的外延定理 。设C为任意概念 ， 若根据其内涵ε的某一增量Δε ， 可将C分解为C₁,C₂,C₃,...,Cn ， n≥1 ， 且C₁∪C₂∪C₃,...,∪Cn=C ， 则1）Δε称为C的一个n元分类标准；2）依据Δε分解C的过程 ， 称为C的一个n元分类；3）C₁,C ₂,C₃,...,Cn称为C在标准Δε下的一个n元类 。例如 ， 设有自然数集N={x|x≥0} ， 其内涵ε为0与正整数的集合 ， 若给定的Δε表征下述二元分类标准x mod 2=0 ， 则自然数分奇偶即一个二元分类 ， 所分出的偶数集和奇数集就是N在标准x mod2=0下的一个二元类 。假定按Δε₂对一个n元类集合{C₁,C₂,C₃,...,Cn}中的任一元素Ci继续分类（1≤i≤n） ， 则：1）Δε₁称为C的一阶分类标准 ， Δε₂称为二阶分类标准；2）依据标准Δε₂分解C的过程 ， 称为C的二阶分类；3）二阶分类的结果C₁",C₂",C₃"…,Cn", 称为C的一个二阶类 。一般地 ， 我们可以按上述方式定义n阶分类标准、n阶分类和n阶类 。分类需满足标准的同一规则 ， 即每一阶分类都只能使用同一个标准 。 设集合f(Cn)为概念C的任意一个n阶类 ， 那么该同一规则可以用一个离散模型表述如下：∀x:x∈f(Cn)→(x↔Δεn )假如我们试图按所有可能的标准对一个概念进行分类 ， 那么所能分出的类别将多于概念的外延 ， 这一现象可用分类的外延定理表述如下 。外延定理：设C为满足在Zermelo-Fränkel公理的任意非空概念 ， P(C)为其所有n阶分类标准下的类所构成的集合 ， 则有：|P(C)|≥|C|证明：1）|C|＞1时 ， 根据幂集定义和Cantor定理 ， 有P(C)={x|x⊆C}⇒|P(C)|＞|C|2）|C|=1时 ， 根据幂集定义 ， 有|P(C)|=|C|Q.E.D.由此可见 ， 外延定理是Cantor定理在形式逻辑上的一个推论 ， 它表征：分类的标准存在某种无穷趋势 ， 因而穷尽所有分法后所产生的类必然大于分类前的外延 。 比如 ， 一般家庭通常只需一个垃圾桶 ， 而垃圾分类法案生效之后他们就会普遍感到即便自己准备好几个垃圾桶也不够用 ， 其中的原因或与外延定理有关 。 PS:拙帖虽不堪大雅 ， 也费时费神写了足足5个小时 ， 况且无意妨碍母猪庄 ， 盼编辑不予分流 。
推荐阅读
- 厦门玩乐|六年级数学培优：分数应用题综合运用，或许你与高分就差这些方法
- 美剧去哪看|高中数学 | 破题36计, 手把手教你攻克数学困难(155页可打印)前18计
- 是的，数学不具备证伪性
- 小了白了兔|二年级数学第2单元收拾整顿温习, 困难都会, 简朴题却错了, 原因?
- 老师吧|初中数学10大专题知识点精讲，重点难点全在这了，可打印！
- 变废为宝|如“取消一门课”，学生呼声最高是哪一门？不是数学，谜底想不到
- 青年|数学游戏：抹掉的数字我能猜到
- 谁说数学不可证伪？
- 数学是科学吗？
- {仁智学——英雄从自保本性到博爱泛化}