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数学|隐藏在 π 中的美丽( 五 )

(3.1408 and 3.1429 之间) 。 因此 ， 他计算 到小数点后的精确两位 。 阿基米德的手动计算方法当然还可以再改进 ， 这样也让他穷尽一生都没有达成 。
而我国南北朝刘宋时代杰出的数学家、天文学家祖冲之利用割圆术计算 正 24576 边形的边长 ， 得到 π ≈ 355/113 ， 其小数点后的前六位数都是正确值 。 这样的结果在之后的八百年内 ， 都是准确度最高的 估计值 。
数学家们需要去找到更有效的公式和更新的数学方法 。 微积分的发明使得 的计算有了一次大的飞跃 。 之后 ， 数学家开始用无穷级数的方式来计算 。 无穷级数是有序的无穷个数字和的表达式 ， 而且收敛的无穷级数会得到一个特定的值 。
当今世界人类有很多方法去计算 ， 最早的格雷果里-莱布尼茨公式如下图所示 。 这样利用无穷级数去表示反正切函数 arctanx ， 把无穷多个小数加到一起计算出了 。
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当 x=1 代入方程即能求得 /4 的值 。 人们所展开的项越多 ， 结果越趋近于 。 不过该级数收敛速度实在太慢 ， 为了精确得到 小数点后 10 位 ， 我们要把大约 50 亿项加起来才好 。
探究  的道路上再往后发展 ， 另一位伟大的数学家欧拉（Leonhard Euler）登场 。 在他 28 岁(1735年)的时候为解决当时难倒欧洲所有数学家的一个难题 ， 为圆周率找到了下面这个更妙不可言的数学表示等式 ， 并且由他开始使用希腊字母“”表示圆周率 。 之后这个符号被欧洲数学家所接受 ， 并应用开来 。
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上面其实就是巴塞尔问题的准确结果 ， 这样其实计算得也是无穷级数和 。 不过 ， 真正奇妙的是所有平方数倒数之和居然与 搭上了关系 。
除此之外 ， 欧拉还在另一个漂亮的方程中用到 ， 即欧拉恒等式 。
数学|隐藏在 π 中的美丽
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计算 的方法再改进 ， 感谢印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金给出了下面新的计算


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