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宠物养成|打开几何学秘密的神奇“咒语”( 二 )


通过观察和抽象 ， 我们得到了三个非常重要的、最简朴的图形：点、线、面 。 这三个图形是高度抽象的现实中无法度量的 ， 点没有大小、线没有长度、面没有面积 。 假如没有点线面三个概念 ， 就没有几何这门学科的存在 。 这种公理化思惟初中生暂时无法理解 ， 但是从逻辑上来说 ， 必需有一些不需要证实的“公理”的存在才可以保证推理的结果是可靠的 。 这种“刨根问底”的形而上学的精神和方法只能“公理化”来解决了 ， 所幸运的是 ， 点线面这三个现实中并不存在的事物 ， 经由人的思维的加工 ， 作为公理之后并没有影响整个欧氏几何的可靠性 。 这里我们也无需过度和孩子们探讨这个题目 ， 而直接进入下一步的“口诀”中 。
既然基本图形中“点”作为最简朴的 ， 那么点的外形是什么？点的大小是什么？两个点的位置关系是什么？外形就是日常生活中见到的那些“点” ， 好比“墨迹”、“笔尖”、“粉笔盒三条棱交在一起的点”……让它们没有“大小” ， 就形成了几何中的“点”点概念 。 日常中的直线、面、体 ， 抽象成几何中的“直线、面、体”要比我们想象中的简朴 。 这部分内容有经验的老师会发现在教授教养中“一切皆在不言中” ， 学生很轻易理解 ， 我们也不再赘述 。
宠物养成|打开几何学秘密的神奇“咒语”
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点的外形和大小解决了 ， 就剩下点和点位置关系需要思索了 。 显然两个点要么“重合”要么“相离” 。 两点重合就相当于一个点 ， 很好理解 ， 两个点相离也很好理解 ， 但是当我们考虑到两个点的远近的时候 ， 就泛起了一个新的事物：线段 。
线段和直线的区别就是有了长度 ， 而直线作为抽象概念没有长度 。 当然在实际解决问题的过程中 ， 我们画所有的直线实际上都是线段 。 两个点确定一条直线 ， 也算是一个经验性的公理 ， 这对于学生来说理解很轻易 。
直线的外形和大小也很轻易理解 ， 但是位置关系又是什么呢？重合、相交和平行 。 我们越来越发现位置关系在几何中很重要了 。 重合先不说 ， 相交就构成了“角” ， 又泛起对顶角的概念 ， 尽管直线不能丈量 ， 但是角却可以 ， 角的外形很好理解 ， 这里又泛起了“角的大小”以及度分秒关于角的单位 。 而角的大小又让我们更加轻易判定角的位置关系 ， 进而对其分类为：锐角、直角和钝角 。 两条直线平行轻易理解却不好判定 。
然后是点与直线的位置关系 ， 点在直线上和在直线外两种情况 。
然后三条直线位置关系 ， 或者三条直线交于一点 ， 或者两两相交 ， 或者两条直线被一条直线所截 。 相交于一点构造了许多对顶角 ， 两两相交则构造出了一个三角形的全貌（包括每条边的延长线） ， 这时候就泛起了三角形的内角、外交、边等概念 ， 跟着角的大小改变又可以对三角形进行分类；两条直线被第三条直线所截就很有趣了 ， 假如两条直线是平行线被第三条直线所截就泛起了平行线的判断定理和性质定理 ， 假如两条直线不是平行线就相当于两两相交（但并没有画出三角形）的部门图形 。
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三条直线位置关系带来了三角形和平行线判断 ， 然后是三角形与三角形的位置关系 ， 又带来了全等三角形和相似三角形；四条直线的位置关系带来了四边形的内容 ， 以及平行线分线段成比例定理；五条以上直线位置关系带来的多边形……
直线性说完之后 ， 还会有曲线形 ， 比如说圆 ， 圆与点、线、三角形、四边形等位置关系 。
当然更复杂的图形 ， 我们也会从中找出最简朴我们学过的这些位置关系 ， 那时候就是解决问题了 。 综上我们可以看到 ， 我们的所以的几何知识就这么非常清楚地被一句话公道地把位置摆放好了 ， 记忆起来就会非常地简朴 。 至少不会让孩子们感觉到内容许多、很杂、很乱 。 而是很有序、很有规律、很有趣 ， 也很轻易按照这个方式自动、自觉地进行下一步的猜测 。 无外乎是点和线的数目多了一些 ， 线段、角度的大小比较要多思索一下 ， 各个几何图形的位置关系是重中之重 。


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