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「量化投资与机器学习」地球是个球体，那宇宙是个啥？( 三 )


「量化投资与机器学习」地球是个球体，那宇宙是个啥？
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现在 ， 想像你和你的二维朋友正在北极闲逛 ， 而你的朋友去散散步 。 当你的朋友走开时 ， 起初它们会在你的视觉圈中显得越来越小 ， 就像在我们的普通世界中一样（尽管他们的收缩速度不会像我们习惯的那样快） 。 这是因为随着你的视觉圈子的扩大 ， 你的朋友所占的比例会越来越小：
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但是一旦你的朋友经过赤道 ， 就会发生一些奇怪的事情：他们离你越远 ， 他们看起来就越大 。 那是因为他们在你的视觉圈中所占的百分比正在增长：
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当你的朋友距南极10英尺时 ， 他们看起来与离你10英尺时一样大：
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当他们到达南极时 ， 你可以在各个方向看到他们 ， 因此它们充满了你的整个视野：
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如果没有人在南极 ， 那么你的视觉地平线甚至会更加奇怪：你自己 。 那是因为从你身上散发出来的光会一直围绕球体 ， 直到它回到你身边为止 。
这直接延续到三维空间中的生活 。 三个球体上的每个点都有一个相反的点 ， 如果那里有一个物体 ， 我们会将其视为整个背景 ， 就好像它是天空一样 。 如果那里什么也没有 ， 我们将把自己当作背景 ， 好像我们的外部已经被叠加在一个气球上 ， 然后翻转过来并膨胀成整个地平线 。
虽然三球体是球面几何的基本模型 ， 但它不是唯一这样的空间 。 正如我们通过从欧几里得空间中切出一部分并将其粘合在一起来构建不同的平面空间一样 ， 我们可以通过粘合三个球体的合适块来构建球面空间 。 这些粘贴形状中的每一个都会像圆环一样具有镜像效果 ， 但是在这些球形形状中 ， 只有有限的几个房间可以穿过 。
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我们的宇宙是球面的吗？
即使是我们当中最自恋的人 ， 也通常不会将自己视为整个夜空的背景 。 但是 ， 就像扁平的圆环一样 ， 仅仅因为我们没有看到一个现象 ， 这并不意味着它就不存在 。 球形宇宙的周长可能大于可观测宇宙的大小 ， 从而使背景看起来离得太远了 。
但是与圆环不同 ， 可以通过纯粹的局部测量来探测球形宇宙 。 球形与无限的欧几里得空间不仅在其全局拓扑结构上而且在其精细几何形状上都不同 。 例如 ， 由于球面几何中的直线是大圆 ， 所以三角形比其欧几里得对应物更膨胀 ， 并且它们的角度加起来超过180度：
「量化投资与机器学习」地球是个球体，那宇宙是个啥？
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实际上 ， 测量宇宙三角形是宇宙学家测试宇宙是否弯曲的主要方式 。 对于宇宙微波背景中的每个热点或冷点 ， 已知其直径和与地球的距离 ， 形成了三角形的三条边 。 我们可以测量星星在夜空中所成的角度——三角形的三个角度之一 。 然后 ， 我们可以检查边长和角度测量值的组合是否适合于平面、球形或双曲线几何形状（其中三角形的角度之和小于180度） 。
大多数此类测试以及其他曲率测量表明 ， 宇宙要么是平坦的 ， 要么非常接近平坦 。 然而 ， 一个研究团队最近认为 ， 普朗克太空望远镜2018年发布的某些数据指向的是一个球状宇宙 ， 尽管其他研究人员已经反驳说 ， 这一证据很可能是统计上的侥幸 。
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双曲几何
与球体自身弯曲不同 ， 双曲几何体向外打开 。 这是珊瑚礁和马鞍的几何形状 。 双曲几何的基本模型是一个无限广阔的空间 ， 就像平面欧几里德空间一样 。 但是 ， 因为双曲几何比平面几何向外扩展快得多 ， 所以除非我们愿意扭曲其几何图形 ， 否则就无法在普通的欧几里得空间中拟合一个二维双曲平面 。 例如 ， 下面是一个被称为庞加莱圆盘的双曲平面的变形视图：


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