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「量化投资与机器学习」地球是个球体，那宇宙是个啥？( 四 )


从我们的角度来看 ， 边界圆附近的三角形看起来比中心附近的三角形小得多 ， 但是从双曲几何的角度来看 ， 所有三角形的大小都是相同的 。 如果我们真的尝试使三角形具有相同的大小 ， 可能是通过使用弹性材料制作圆盘 ， 然后从中心向外依次对每个三角形依次充气 ， 我们的圆盘将开始像一顶软帽 ， 并且随着我们向外展开 ， 会越来越弯曲 。 当我们接近边界时 ， 这种屈曲将失去控制 。
从双曲几何的角度来看 ， 边界圆距离任何内部点都无限远 ， 因为你必须越过无限多个三角形才能到达那里 。 因此 ， 双曲线平面向四面八方延伸到无穷远 ， 就像欧几里德平面一样 。 但是就局部几何而言 ， 双曲平面中的生活与我们习惯的生活大不相同 。
在普通的欧几里得几何中 ， 圆的周长与其半径成正比 ， 但是在双曲几何中 ， 圆的周长与半径成指数增长 。 我们可以在双曲线圆盘边界附近的三角形中看到指数堆积 。
「量化投资与机器学习」地球是个球体，那宇宙是个啥？
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因为这个特征 ， 数学家喜欢说在双曲空间中很容易迷路 。 如果你的朋友在普通的欧几里得空间中离开你 ， 他们会开始看起来更小 ， 但速度会变慢 ， 因为你的视线圈并没有增长得那么快 。 但是在双曲线空间中 ， 你的视觉圈呈指数级增长 ， 因此你的朋友很快就会缩小到成指数级的小斑点 。 如果你没有仔细跟踪朋友的路线 ， 以后几乎不可能找到通往他们的道路 。
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在双曲几何中 ， 三角形的角度之和小于180度 ， 例如 ， 在我们的庞加莱圆盘的平铺中的三角形的角度之和等于165度：
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这些三角形的边看起来不是笔直的 ， 但这是因为我们正在通过变形的透镜查看双曲几何 。 对于庞加莱圆盘的居民而言 ， 这些曲线是直线 ， 因为从点A到达点B的最快方法是一条通向中心的捷径：
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有一种自然的方法可以对庞加莱圆盘进行三维模拟 ， 只需制作一个三维球 ， 然后用三维的形状填充它 ， 当它们接近边界球体时 ， 这些形状变得越来越小 ， 就像庞加莱圆盘中的三角形一样 。 就像平面几何和球面几何一样 ， 我们可以通过切割出三维双曲球的合适块并将其面粘在一起来构成各种其他三维双曲空间 。
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我们的宇宙是双曲的吗？
双曲几何具有狭窄的三角形和呈指数增长的圆 ， 感觉不像是适合我们周围空间的几何形状 。 事实上 ， 正如我们已经看到的那样 ， 到目前为止 ， 大多数宇宙学测量似乎都倾向于一个平坦的宇宙 。
但是我们不能排除我们生活在球面或双曲世界中的可能性 ， 因为这两个世界的小块看上去几乎都是平坦的 。 例如 ， 球面几何中的小三角形的角度之和仅略大于180度 ， 而双曲几何形状中的小三角形的角度之和仅略小于180度 。
这就是为什么早期人们认为地球是平坦的 ， 在他们能够观测到的尺度上 ， 地球的曲率微小到无法探测到 。 球面或双曲形状越大 ， 它的每个小块就越平坦 ， 因此 ， 如果我们的宇宙是一个非常大的球面或双曲形状 ， 则我们可以观测到的部分可能非常接近于平坦 ， 因此只能通过我们尚未发明的超精密仪器来探测其曲率 。
作者：Erica Klarreich、Lucy Reading-Ikkanda
来自：Quanta Magazine
编译：7788
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