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「量化投资与机器学习」地球是个球体，那宇宙是个啥？


北京联盟_本文原题：地球是个球体 ， 那宇宙是个啥？
在我们的心目中 ， 宇宙似乎永远存在 。 但是利用几何学 ， 我们可以探索各种三维形状 ， 为“普通”无限空间提供选择 。 公众号今天为大家带来一篇别具一格的文章！
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前沿
当你凝视夜空时 ， 空间似乎永远向四面八方延伸 。 那是我们对宇宙的心理模型 ， 但这并不一定正确 。 毕竟 ， 曾有一段时间 ， 每个人都认为地球是平坦的 ， 因为我们的星球的曲率太细微以至于无法探测到 ， 而球形的地球却是深不可测的 。
今天 ， 我们知道地球的形状像一个球体 。 但是我们大多数人很少考虑宇宙的形状 。 正如球体提供了平坦地球的替代物一样 ， 其他三维形状也提供了“普通”无限空间的替代物 。
我们可以问两个关于宇宙形状的独立但相互关联的问题 。 一个是关于其几何形状：对诸如角度和面积之类的物体进行精细的局部测量 。 另一个关于他的拓扑结构：如何将这些局部片段缝合在一起形成一个总体形状 。
宇宙学证据表明 ， 我们所能看到的宇宙部分是平滑且同质的 ， 至少大致如此 。 空间的局部结构在每一点和每一个方向上都大同小异 。 只有三种几何形状符合此描述：平面、球面和双曲 。 让我们探索这些几何形状 ， 一些拓扑注意事项 ， 以及宇宙学证据中关于哪些形状最能描述我们的宇宙 。
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平面几何
这是我们在学校中学到的几何 。 三角形的角度加起来为180度 ， 和一个圆的面积是πr^2 。 平面三维形状最简单的例子是普通的无限空间 ， 数学家称之为欧几里得空间 ， 但也可以考虑其他平面形状 。
「量化投资与机器学习」地球是个球体，那宇宙是个啥？
本文插图

这些形状更难以可视化 ， 但是我们可以通过二维而不是三维思考来建立一些直觉 。 除了普通的欧几里得平面之外 ， 我们还可以通过切出一部分平面并将其边缘贴在一起来创建其他平面形状 。 例如 ， 假设我们切出一张矩形纸 ， 然后用胶带将其相对的边缘粘上 。 将顶部和底部边缘贴上胶带 ， 我们就能得到一个圆柱体：
「量化投资与机器学习」地球是个球体，那宇宙是个啥？
本文插图

接下来 ， 我们可以用胶带把在左右两边粘起来 ， 得到一个甜甜圈（数学家称之为环面）：
「量化投资与机器学习」地球是个球体，那宇宙是个啥？
本文插图

现在 ， 你可能会想：“在我看来这并不平坦 。 ” 你是对的 。 如果你真的试图以此方式用一张纸制作一个圆环 ， 那么你会遇到困难 。 制作圆柱体会很容易 ， 但是用胶带贴住圆柱体的两端是行不通的：纸张会沿着圆环的内圆起皱 ， 并且不会沿着外圆伸展得足够远 。 你将不得不使用一些可拉伸的材料来代替纸张 。 但是这种拉伸会扭曲长度和角度 ， 从而改变几何形状 。
在普通的三维空间内 ， 无法在不扭曲平面几何形状的情况下 ， 用平面材料构建一个真实、平滑的物理圆环 。 但是我们可以抽象地推断出生活在扁平圆环内是什么的感觉 。
想象你是一个二维生物 ， 其宇宙是一个扁平的圆环 。 由于该宇宙的几何形状来自一张平坦的纸 ， 因此 ， 我们习惯于使用的所有几何事实至少在小范围内与平常相同：三角形中的角度之和为180度 ， 依此类推 。 但是 ， 我们通过切割和缠绕对全局拓扑所做的更改意味着 ， 生活在圆环中的体验将与我们过去的感觉大不相同 。
对于初学者来说 ， 圆环上有直线路径可以循环并返回到它们的起点：
「量化投资与机器学习」地球是个球体，那宇宙是个啥？
本文插图

这些路径在扭曲的圆环上看起来是弯曲的 ， 但是对于扁平圆环的居民而言 ， 它们感觉是直的 。 而且由于光沿直线路径传播 ， 因此如果你朝这些方向之一直视前方 ， 你会从后面看到你自己：


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