一文讲透微积分的本质 _微积分

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伟大的发现会成为未来的常识。
01
微积分的本质
“微积分的基本定理”是微积分的重要知识。打比方来说，这就相当于金枪鱼中珍贵的鱼腩部分。高中的教科书里一般都会涉及这方面的内容，比如“微分和积分互为逆运算”等。
这个表述确实没有错误。如果说是否正确，那当然是对的。

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“微分和积分互为逆运算”这句话表述有些过于简洁，它具体的意思是什么呢？我非常希望大家能理解其本质。
大家是否曾觉得圆和球是相似的东西？关于圆和球存在以下表述：
（1）“圆的面积”的微分就是“圆的周长”；
（2）“球的体积”的微分就是“球的表面积” 。这些表述有些让人摸不着头脑，果真如此吗？
（1）半径为r的圆的面积是

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对r微分后得出
这与半径为r的圆周长完全一样。
（2）半径为r的球的体积是

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对r微分后得出
这是半径为r的球的表面积。

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（1）设半径为r的圆（圆板）的面积是关于r的函数：

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依照我们的老办法，现在思考“圆的半径增加Δr 时，面积会增加多少” 。
请观察图 95 中的大圆。圆的半径增加Δr时，哪里会增加呢？增加的部分是薄圆环。这个环状面积大致可以表示为：
圆的周长×Δr
即面积增加的部分（ΔS）为
ΔS ≈圆的周长×Δr

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在这里，出现了一个符号“约等于”（≈）。因为外侧圆的周长稍微比内侧圆的周长大一些。虽说有必要使用约等于号，但是总会让人觉得不严谨。如果可以的话，还是尽可能转化为等号。
因此，首先将式子的两边除以Δr，因为

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取Δ 0 r → 时
的极限。这样一来，去掉“约”，即为

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所以“圆的面积”的微分=“圆的周长”成立。
（2）我们用和（1）相同的思路来思考 “球的体积”的微分 = “球的表面积” 。
半径为r的球的体积为
与圆的情况一样，我们来思考“球的半径增加Δr时，体积会增加多少” 。
根据图 96 可知，体积增加的部分是球外侧很薄的那一部分皮。假设球为乒乓球，可以说增加的部分是用赛璐珞做成的部分（乒乓球本身）。为了便于观察，图 96 中的球体增加了较为夸张的厚度。这层薄皮的体积大致为
球的表面积×Δr
也就是说，体积增加的部分ΔV为
和圆的做法一样，两边除以Δr，取Δ 0 r → 时
的极限，得到

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与刚刚的“圆的面积”的微分是“圆的周长”同理，可知“球的体积”的微分=“球的表面积”成立。
根据以上证明可知，本节开篇所讲（1）、（2）虽然让人觉得不可思议，但确实都是成立的。
实际上，这个关系就是“微积分的基本定理” 。但是这其实是从不同的角度讲解了相同的内容。详细来说即为以下内容。
第一，我们可以认为“圆面积的微分”最终就是（在使Δr 趋向于 0 的极限情况下）把圆分割成薄圆环状。也就是说，粗略来讲的话，微分就是从圆板上多个同心圆之间排列的薄圆环中，取出 1 个薄圆环。另一方面，积分则是累加极薄圆环的面积从而求出圆的面积（图 97）。