一文讲透微积分的本质( 二 ) _微积分

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即

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成立。将式子两边除以2π，得出

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第二，关于球的内容，累加“表面积×Δr ”，就能求出球整体的体积。所以

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成立。
将式子两边除以4π，得出

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把微分公式

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【一文讲透微积分的本质】代入，得出积分公式

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即“分割”成较小部分的操作是微分，相反，“累加”较小部分的操作是积分（图 98）。

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微分和积分就像硬币的正反面，是完全相反的关系。
02
基本定理的使用方法
真正理解了“微积分的基本定理”，就会觉得这东西并不复杂。但是，这个定理的厉害之处在于应用范围很广。虽然看起来很普通，但是很实用。
比如说“幂函数的微分公式”是
我们以此来尝试推导“幂函数的积分公式” 。
根据微积分的基本定理可知，幂函数的微分公式的意思可以用图 99 来表示。

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即幂函数的微分公式的意思是：
改变α的值就可以不断列举出：

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把这些式子（也可以说是句子）依次分别除以 3、4，可以得出：

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积分式子即使无限地写下去，其意思也十分简单。
也就是说，一般“指数增加 1”后写在分母和x的右上角，即

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但是，有一点必须要注意。
实际上到目前为止，我们使用“积分”这个词时，意思是有些不清晰的。比如说，在刚刚解释的幂函数中，微分

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可以得到
但是，还存在其他函数，其微分结果也为
这里，我们漏掉了微分得 0 的函数。问题就在于此。即如果将
微分的话，其结果也得
“微分得 0 的函数”也就是“没有变化的函数”，这种函数叫作 “常数函数” 。常数函数的斜率为 0，即对于任何 x 值函数的结果都相同。设常数函数值为C，则可以写成
如图 100 所示，常数函数的函数值没有变化。其中的常数C，可以是 100，可以是 -50，也可以是 10 万亿。重要的是C“没有变化”，而不是数值本身是大是小。

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这是幂函数的积分公式。
对f( x) 的微分进行积分得出的函数，叫作“f ( x) 的原函数”，写作F ( x)，即

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原函数中始终存在“一项不定数值 C（不定项）” 。在这里，“通过积分求出原函数”，这叫作不定积分。相反，像之前提到求取面积或者体积的积分，叫作定积分。不定积分和定积分不同，原则上不写“从哪里到哪里的积分” 。
多出的这个 C，就像多余的装饰品让人无法平静，不过可以不用在意。因为在计算面积等问题时，C 就会消失。
例如，图 101 中灰色部分的面积，用定积分符号表示的话，写作