只有少部分数学有用，而即此少部分也较为乏味，真正数学家的真正数学（无论其为应用数学或纯粹数学），即费马、欧拉、高斯、阿贝尔、黎曼的数学，几乎全部无用。如能解释真正数学的存在，则应解释为艺术。
……我从未做过任何有用的事情。
例如，他生前非常赏识的后生莱文森1970年曾专门写文章反驳过这一观点，标题是Coding Theory: A Counterexample to G. H.Hardy s Conception of Applied Mathematics. 莱文森说，编码理论就用到了纯数学，特别是伽罗瓦所发现的有限域的理论。
哈代写《辩白》是在第二次世界大战期间，他特别提到了数学与战争：
有一个结论是真正的数学家感到坦然无惧的，那就是，真正的数学对战争毫无影响。至今还没有人发现，有什么火药味的东西是数论或相对论造成的，而且看来以后很多年也不会有人能够发现这类东西。
显然，他没有预见到基于相对论基本结果 E=mc^2 的原子弹竟然会在他有生之年的某一天应用于战争、乃至结束二战，而最初为战争服务的编码（有许多是基于数论）现在也应用于日常生活中，比如保障了你银行卡的密码安全。
哈代在强调数学职业的优越性，同时也指出，做数学与当和尚修行截然不同：
当这个世界都疯狂了的时候，数学家可能发现数学是一种无与伦比的镇静剂。因为数学在一切艺术和科学中是最为阳春白雪的，数学家应该是所有人中最易于找到象牙塔的人。正如罗素所说，在这座象牙塔中，“我们较为高尚的感情冲动中至少有一种，能够完全逃脱现实世界沉闷的流放。”可惜的是，这里一定要提出一个非常严格的限制条件：这样的一位数学家的年纪不能太大。数学不是冥思苦想的修行，而是一门创造性的学问，凡是失去创造力和创作欲的人，都不能从中得到很多慰藉；这是数学家要不了多久就可能碰到的情况[注：可能有很多人感觉中枪了，如我们]。可是到了那样的境地，他也就不是什么重要角色，也不必为他操心了。[好了，请大家也不必为我们担心了。]
插话：哈代对罗素讲
如果我能通过逻辑证明你将在五分钟之内挂掉，我会为你的将挂而伤悲，
不过我的伤悲很快就会被证明的乐趣覆盖。
这句话主要表明，哈代欣赏证明的力量。
哈代在《辩白》中多次提及数学创造力的与时俱下，例如：
每个数学家都应谨记，比起其他任何艺术和科学，数学更是年轻人的游戏……[注：菲尔兹奖只颁发给40岁以下的数学家，因此怀尔斯没有得到菲尔兹奖]
伽罗瓦在21岁去世，阿贝尔在27岁去世，拉马努金在33岁去世，黎曼在40岁去世。曾经有一些人在相当晚的时候才做出伟大的工作。高斯关于微分几何的论文在他50岁时才发表（不过他在十年前就有了基本的想法）。我从没见过哪个年过半百的数学家开创重大的数学进展。[注：他确实没有见过张益唐！]
如果一个处于成熟年龄的人对数学失去了兴趣，放弃了数学，这无论对于数学还是对于他，损失都不像是有多么严重。
一个数学家到了60岁也许仍然很有能力，但不能期待他有原创性的思想。
五、哈代的数学工作及其影响
哈代在数论、函数论、不等式等领域皆有重要贡献，此处相对专业，我们略去。我们只提一点，哈代在zeta函数方面的工作、哈代与拉马努金在划分数方面的工作、哈代与李特伍德在华林问题方面的工作，哈代在不等式方面的工作，对塞尔伯格、闵嗣鹤、拉德梅赫、华罗庚、陈景润、陈木法都有深远的影响。
此外，哈代对遗传学也有贡献，著名的哈代-温伯格原理，就是哈代的板球友向他请教孟德尔遗传理论的结果。
六、哈代对英国本科数学教育的贡献
哈代认为，英国的数学如此落伍，根源就在Tripos制度。Tripos是剑桥大学本科生的荣誉学位考试。起初，这个制度是为了达到一个并不太高的目标——决定申请（学士）学位者水平的高低——所用的手段；后来Tripos本身反而变成目标。在哈代看来， Tripos本意是用来提拔英国数学未来的带头人，结果反而成了他们的枷锁。
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