韩信点兵数学故事( 四 )_韩信

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普鲁士的腓特列大帝曾想组成这样一支仪仗队，仪仗队共有36名军官，来自6支部队，每支部队中，上校、中校、少校、上尉、中尉、少尉各一名。他希望这36名军官排成6×6的方阵，方阵的每一行，每一列的6名军官来自不同的部队并且军衔各不相同。
令他恼火的是，这些军官怎么绞尽脑汁也排不成。都说三个臭皮匠，赛过诸葛亮，但是在数学问题上，几千几万个臭皮匠都不顶用。没法，腓特列大帝只能向数学大牛牛欧拉求救。
欧拉先从最简单问题入手，当n=3 (即有3种部队、3种级别)的方阵，他很轻松排出来，然后是n=4，n=5. 都很轻松就解出，得出的方阵叫欧拉方阵（又叫做正交拉丁方阵）。但是当n=6 时，欧拉发现这是一个不可能完成的任务。

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1782年，欧拉总结道:"我已经试验研究了很多次，我确信不可能作出两个六阶的，并且对于10、14，…以及奇数2倍的阶数都是不可能的。"欧拉认为:4n + 2阶欧拉方阵不存在，这被后人称为"欧拉方阵猜想" 。
在没有计算机的年代，欧拉方阵猜想的证明非常困难。一直到了1910年，一对兄弟俩，法国数学家加斯顿?塔里和赫伯特?塔里用了最笨的方法，（不知道他们哪里来的耐心），穷举出了全部六阶拉丁方，从而证实了n=6时欧拉猜想是正确的：n=6 时，仪仗队是一个不可能完成的任务。看到没？最笨的方法也可以在数学史上留名啊，真是世上无难事，只怕有心人。（现在用计算机已经知道，除了n=2,6以外，其余的正交拉丁方阵都存在，而且有多种构造的方法。这个否定的结果是人们在180年的努力中未曾想到的。）

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欧拉恒等式，欧拉常数，欧拉示性数等
欧拉方阵体现着数学的美：整齐、对称、有规律、简单、自然…，欧拉方阵在工农业生产，统计、组合设计、模拟、数值积分中均具有广泛的应用；另一方面，欧拉方阵在数学的发展中也有着重要的作用.但是，最要紧好玩。欧拉没料到，后人居然把欧拉方阵能玩出花来，成为一种从9-99岁的人都无法抗拒的经典数字游戏。欧拉方阵从瑞士起源，接着在日本推广，后来在英国发扬光大，最终风靡全世界，有了另一个简单好听的名字，数独。其实欧拉方阵就是没有宫的标准数独，而数独其实正是一种特殊的欧拉方阵。
2012 年，三位爱尔兰数学家证明了数独至少需要 17 个初始数字才有唯一解。他们的计算机花了 700 万小时的 CPU 时间才搞定了这道数独题。
【韩信点兵数学故事】可以说中国古代的先贤在这方面取得了丰硕的成果。"韩信点兵"问题只是一个例子，这样的问题有更加普遍和系统化的表示方法。而这个方法是我国为数不多的获得世界公认的古代数学成就之一。