韩信点兵数学故事( 二 )_韩信

韩信如何快速得知自己士兵的人数呢？这个问题转化成数学问题就是一个数除以3余2，除以5余3 ，除以7余2，求符合条件的数。下面提供2中解题思路：
1）筛法
1，3，5，7 ， 9 ， 11，13，15，17 ， 19，21，23，25，… （用2除余1）
5，11，17 ， 23 ， … （用3除余2）
11，23，… （用4除余3）
再从中挑"用5除余4"的数，… 一直筛选下去，舍得下功夫，就一定可得结果。并且看起来，解，还不是唯一的；可能有无穷多个解。
化繁为简的思想：当问题中有很多类似的条件时，我们先只看其中两三个条件，这就是化繁为简。一个复杂的问题，如果在简化时仍然保留了原来问题的特点和本质，那么简化就"不失一般性" 。学会"简化问题"与学会"推广问题"一样，是一种重要的数学能力。
寻找规律的思想：把我们的解题方法总结为筛法是重要的进步，是质的飞跃，找到规律了。
筛法是一般性方法，还可以用来解决其他类似的问题。
2）公倍数法
①化繁为简，我们还是先看只有前两个条件的简化题目。
1，3，5，7，9 ， 11，13，15，17，19 ， 21，23，25，… （用2除余1）
5，11，17 ， 23，… （用3除余2）
上述筛选过程的第一步，得到:1，3 ， 5，7，9，11，13，15，17 ， 19，21，23，25，…其实是列出了"用2除余1"的数组成的数列。这个数列实际上是用带余除法的式子得到的。

文章插图
所谓"带余除法"，是指整数的如下：对任意 b≠0,被除数a，除数b , 必唯一存在商 q和余数 r，使a=bq+r,0≤r＜b. 回到求"用2除余1的数"的问题。设这样的数为 x，则 x= 2n+1。这里x 是被除数， 2是除数，n是商，1是余，且 0≤1＜2。当取 n=0,1,2,3,4,…… 时，用上式求得的x 正好组成上述数列1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21 ， 23，25，…
接着从中筛选出"用3除余2"的数，就是挑出符合下面"带余除法"表达式x=3n+2
的数，这里n可取0，1，2，3，4，… 再继续做下去. 对整个问题寻找规律，：今有物不知其数，二二数之剩1，三三数之剩2，四四数之剩3 ，五五数之剩4，六六数之剩5，七七数之剩6，八八数之剩7，九九数之剩8，问物几何？
②寻找规律，设问题中，需要求的数是x，则x被2，3 ， 4，5，6，7，8，9去除，所得的余数都是比除数少1，于是我们把被除数x再加1，则x+1就可被2，3，4，5，6，7，8 ， 9均整除。也就是说，x+1是2,3,4,5,6,7,8,9的公倍数，从而是其最小公倍数[2,3,4,5,6,7,8,9]的倍数。X+1=2520k,k=1,2,3….
怎么解决韩信点兵问题呢？设士兵为x人，则x=3a+2,x=5b+3,x=7c+2,a、b、c为正整数，观察可得x-2=21n,n为正整数，当n=1,2,3,…,x=23,44,65,…,23被5除余3，所以满足条件的最小人数为23人，x=[3,5,7]k+23=105k+23,因为已经伤亡四五百人，所以1000＜105k+23＜1100,k=10,x=1073.
牛气的韩信熟知余数问题，所以快速统计出自己队伍的人数然后迅速制定作战策略，小伙伴们，你的数论知识现在能不能快速帮你解决些实际问题呢？
1.　一个数在200与400之间，它被3除余2，被7除余3，被8除余5，求该数。
（解：112×2＋120×3＋105×5＋168k，取k＝-5得该数为269 。）
2. 一个数除以5余4 ，除以7余1，除以3余2，这个数不超过100，求这个数？
（解：（3*7）*4 + （3*5） + （5*7）= 134 。这个数小于100 ， 134— 105= 29 。）
古代的算法在我国有许多名称，如"韩信点兵" ， "鬼谷算" ， "隔墙算"，"剪管术"，"神奇妙算"等等，题目与解法都载于我国古代重要的数学著作《孙子算经》中。著作中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，一般认为这是三国或晋时的著作，比刘邦生活的年代要晚近五百年，算法口诀诗则载于明朝程大位的《算法统宗》，诗中数字隐含的口诀前面已经解释了。