积分篇最美的公式：你也能懂的麦克斯韦方程组 _生活百科

2004年，英国的科学期刊《物理世界》举办了一个活动：让读者选出科学史上最伟大的公式。结果，麦克斯韦方程组力压质能方程、欧拉公式、牛顿第二定律、勾股定理、薛定谔方程等”方程界“的巨擘，高居榜首。

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麦克斯韦方程组以一种近乎完美的方式统一了电和磁，并预言光就是一种电磁波，这是物理学家在统一之路上的巨大进步。很多人都知道麦克斯韦方程组，知道它极尽优美，并且描述了经典电磁学的一切。但是，真正能看懂这个方程组的人却不多，因为它不像质能方程、勾股定理这样简单直观，等式两边的含义一眼便知。毕竟，它是用积分和微分的形式写的，而大部分人要到大学才正式学习微积分。
不过大家也不用担心，麦克斯韦方程组虽然在形式上略微复杂，但是它的物理内涵确是非常简单的。而且，微积分也不是特别抽象的数学内容，大家只要跟着长尾科技的思路，看懂这个“最伟大“的方程也不会是什么难事~
01电磁统一之路
电和磁并没有什么明显的联系，科学家一开始也是独立研究电现象和磁现象的。这并不奇怪，谁能想到闪电和磁铁之间会有什么联系呢？
1820年，奥斯特在一次讲座上偶然发现通电的导线让旁边的小磁针偏转了一下，这个微小的现象并没有引起听众的注意，但是可把奥斯特给高兴坏了。他立马针对这个现象进行了三个月的穷追猛打，最后发现了电流的磁效应，也就是说电流也能像磁铁一样影响周围的小磁针。

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消息一出，物理学家们集体炸锅，立马沿着这条路进行深入研究。怎么研究呢？奥斯特只是说电流周围会产生磁场，那么这个电流在空间中产生的磁场是怎么分布的呢？比方说一小段电流在空间某个地方产生的磁感应强度的多大呢？这种思路拓展很自然吧，定性的发现某个规律之后必然要试图定量地把它描述出来，这样我不仅知道它，还可以精确的计算它，才算完全了解。
三个月，在奥斯特正式发表他的发现仅仅三个月之后，毕奥和萨伐尔在大佬拉普拉斯的帮助下就找到了电流在空间中产生磁场大小的定量规律，这就是著名的毕奥-萨伐尔定律。也就是说，有了毕奥-萨伐尔定律，我们就可以算出任意电流在空间中产生磁场的大小，但是这种方法在实际使用的时候会比较繁琐。
又过了两个月之后，安培发现了一个更实用更简单的计算电流周围磁场的方式，这就是安培环路定理。顺便，安培还总结了一个很实用的规律来帮你判断电流产生磁场的方向，这就是安培定则（也就是高中学的右手螺旋定则）。
至此，电生磁这一路的问题“似乎”基本解决了，我们知道电流会产生磁场，而且能够用安培环路定理（或者更加原始的毕奥-萨伐尔定律）计算这个磁场的大小，用安培定则判断磁场的方向。那么，我们现在知道怎么单独描述电和磁，知道了电怎么生磁，秉着对称的思想，我怎么样都要去想：既然电能够生磁，那么磁能不能生电呢？
由于种种原因，奥斯特在1820年发现了电生磁，人类直到11年后的1831年，才由天才实验物理学家法拉第发现了磁生电的规律，也就是电磁感应定律。法拉第发现磁能生电的关键就是：他发现静止的磁并不能生电，一定要变化的磁才能生电。

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发现电磁感应定律之后，我们知道了磁如何生电，有了安培环路定理，我们就知道电流如何产生磁场。咋一看，有关电磁的东西我们好像都有解决方案了。其实不然，我们知道安培环路定理是从奥斯特发现了电流周围会产生磁场这一路推出来的，所以它只能处理电流周围表示磁场的情况。
但是，如果没有电流呢？如果我压根就没有导线让你可以形成电流，如果仅仅是电场发生了变化，那么这样能不能产生磁场呢？大家不要觉得我胡搅蛮缠，你想想，根据电磁感应定律，变化的磁场是可以产生电场的。所以，我会反过来猜想变化的电场能否产生磁场并不奇怪。而这，正好是安培环路定理缺失的部分。
于是，麦克斯韦就对安培环路定理进行了扩充，把变化的电场也能产生磁场这一项也添加了进去，补齐了这最后一块短板。
到这里，电和磁的统一之路就走得差不多了，麦克斯韦方程组的基本形式也呼之欲出了。这里我先让大家考虑一下：我们都知道麦克斯韦方程组描述了经典电磁学的一切，而且它是由四个方程组成的。那么，如果让你选择四个方程来描述电磁里的一切，你大致会选择四个什么样的方程呢？