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积分篇 最美的公式：你也能懂的麦克斯韦方程组( 三 )


一个很简单自然的想法就是：如果有很多个电荷，我就把每个电荷在这点产生的电场强度算出来，再把它们叠加起来就行了 。如果这是一个连续的带电体（比如一根带电的线），那我们就再次举起牛顿爵爷留给我们的微积分大刀，哗啦啦地把这个带电体切成无数个无穷小的部分，这样每一个无穷小的部分就可以看做一个点电荷，然后把这无数个点电荷在那点产生的电场强度叠加起来（就是积分）就行了 。
我们上面的思路其实就是秉着“万物皆可切成点，万物皆可积”的精神，强行让库伦定律和微积分联姻，“硬算”出任何带电体在任意位置的场强 。这在原理上是行得通的，没问题，但是在具体操作上就很复杂了，有没有更简单优雅一点的办法呢？
有，不过这需要我们换个角度看问题 。物理学研究物体运动变化的规律，但是物体时时刻刻都处在变化之中，你要怎么去寻找它的规律呢？这里就涉及到科学研究的一个重要思想：把握变化世界里那些不变的东西 。
牛顿发现一切物体在运动中都有某种共同不变的东西，不管物体怎样运动，受到什么样的力，这个东西只由物体的密度和体积决定，于是牛顿从中提炼出了质量的概念（当然，现在质量是比密度体积更基本的概念）；科学家们发现物体在各种变化的过程中有某种守恒的东西，于是提炼出了能量的概念 。那么，带电体在周围空间中产生电场的过程，能不能也提炼出某种不变的东西呢？
04通量的引入
我们先不管电，先来看看我们更熟悉的水 。毕竟水流和电流有某种相似之处，
我在一个水龙头的出口处装一个喷头，让水龙头向周围的空间喷射水流（就像正电荷喷射电场线一样），然后我用一个完全透水（水能够自由的穿过塑料袋）的塑料袋把水龙头包起来 。那么，从水龙头出来的所有的水都必须穿过这个塑料袋，然后才能去其他地方，穿过这个塑料袋的表面是所有水的必经之路 。
这个看似平常的现象后面却隐藏了这样一个事实：无论塑料袋有多大，是什么形状，只要你是密封的 。那么，从水龙头流出的水量就一定等于通过这个塑料袋表面的水量 。
从这里，我们就抽象出来了一个非常重要的概念：通量 。通量，顾名思义，就是通过一个曲面的某种流量，通过塑料袋表面的水的流量就叫塑料袋的水通量 。这样上面的例子我们就可以说成水龙头的出水量等于塑料袋的水通量了 。
好，水的事就先说到这里，我们再回过头来看看电 。还是用上面的实验，现在我们把水龙头换成一个正电荷，我们还是用一个完全透电（对电没有任何阻力）的塑料袋套住一个正电荷，那会发生什么呢？水龙头的喷头散发的是水流，正电荷“散发”的是电场线；通过该塑料袋的水流量叫塑料袋的水通量，那么电场线通过塑料袋的数量自然就叫塑料袋的电通量 。对于水通量，我们知道它等于水龙头的出水量，那么塑料袋的电通量等于什么呢？
我们知道，之所以会有电场线，是因为空间中存在电荷 。而且，电荷的电量越大，它产生的电场强度就越大，电场线就越密，那么穿过塑料袋的电场线的数量就越多，对应的电通量就越大 。所以，我们虽然无法确定这个电通量的具体形式，但是可以肯定它一定跟这个塑料袋包含的电荷量有关，而且是正相关 。
这就是在告诉我们：通过一个闭合曲面的电通量跟曲面内包含电荷总量是成正比的，电荷量越大，通过这个任意闭合曲面的电通量就越大，反之亦然 。这就是麦克斯韦方程组的第一个方程——高斯电场定律的核心思想 。
把这个思想从电翻译到水上面去就是：通过一个闭合曲面的水量是这个曲面内包含水龙头水压的量度，水压越大，水龙头越多，通过这个闭合曲面的水量就越大 。这几乎已经接近“废话”了~所以，大家面对那些高大上的公式方程的时候不要先自己吓自己，很多所谓非常高深的思想，你把它用人话翻译一下，就会发现它非常简单自然 。
我们再来审视一下高斯电场定律的核心思想：通过一个闭合曲面的电通量跟曲面包含的电荷量成正比 。那么，我们要怎么样把这个思想数学化呢？电荷的总量好说，就是把所有电荷的带电量加起来，那么通过一个闭合曲面的电通量要怎么表示呢？
05电场的通量
我们先从最简单的情况看起 。
问题1：我们假设空间里有一个电场强度为E的匀强电场，然后有一个面积为a的木板跟这个电场方向垂直，那么，通过这个木板的电通量Φ要怎么表示呢？


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