积分篇最美的公式：你也能懂的麦克斯韦方程组( 四 ) _生活百科

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我们想想，我们最开始是从水通过曲面的流量来引入通量的，到了电这里，我们用电场线通过一个曲面的数量表示电通量。而我们也知道，电场线的密度代表了电场强度的大小。所以，我们就能很明显的发现：电场强度越大，通过木板的电场线数量越多；木板的面积越大，通过木板的电场线数量越多。而电场线的数量越多，就意味着电通量越大。
因为电场强度E是一个矢量（有大小和方向），所以我们用E的绝对值|E|来表示E的大小，那么我们直接用电场强度的大小|E|和木板面积a的乘积来表示电通量的大小是非常合理的。也就是说，通过木板的电通量Φ=|E|×a 。
木板和电场线方向相互垂直是最简单的情况，如果木板和电场的方向不垂直呢？
问题2：还是上面的木板和电场，如果木板跟电场的方向不是垂直的，它们之间有一个夹角θ，那这个电通量又要怎么求呢？

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如上图，首先，我们能直观地感觉到：当木板不再和电场方向垂直的时候，这个木板被电场线穿过的有效面积减小了。原来长度为AB的面都能挡住电场线，现在，虽然还是那块木板，但是真正能够有效挡住电场线的变成了BC这个面。
然后，我们再来谈一谈曲面的方向，可能很多人都认为曲面的方向就是定义为AB的方向。其实不是的，我们是用一个垂直于这个平面的向量的方向表示这个平面的方向，这个向量就叫这个平面的法向量。如上图所示，我画了一个跟木板垂直的法向量n，那么这个法向量n和电场E的夹角才是木板这个平面和电场的夹角θ 。
AB、BC和θ之间存在一个非常简单的三角关系：BC=AB×cosθ（因为夹角θ跟角ABC相等，cosθ表示直角三角形里邻边和斜边的比值）。而我们有知道垂直的时候通过木板的电通量Φ=|E|×|a|，那么，当它们之间有一个夹角θ的时候，通过木板的电通量自然就变成了：Φ=|E|×|a|×cosθ 。
06矢量的点乘
到了这里，我们就必须稍微讲一点矢量和矢量的乘法了。
通俗地讲，标量是只有大小没有方向的量。比如说温度，房间某一点的温度就只有一个大小而已，并没有方向；再比如质量，我们只说一个物体的质量是多少千克，并不会说质量的方向是指向哪边。而矢量则是既有大小，又有方向的量。比如速度，我们说一辆汽车的速度不仅要说速度的大小，还要指明它的方向，它是向东还是向南；再比如说力，你去推桌子，这个推力不仅有大小（决定能不能推动桌子），还有方向（把桌子推向哪一边）。
标量因为只有大小没有方向，所以标量的乘法可以直接像代数的乘法一样，让它们的大小相乘就行了。但是，矢量因为既有大小又有方向，所以你两个矢量相乘就不仅要考虑它的大小，还要考虑它的方向。假如你有两个矢量，一个矢量的方向向北，另一个向东，那么它们相乘之后得到的结果还有没有方向呢？如果有，这个方向要怎么确定呢？
这就是说，我们从小学开始学习的那种代数乘法的概念，在矢量这里并不适用，我们需要重新定义一套矢量的乘法规则，比如我们最常用的点乘（符号为‘·’）。你两个标量相乘就是直接让两个标量的大小相乘，我现在矢量不仅有大小还有方向，那么这个方向怎么体现呢？简单，我不让你两个矢量的大小直接相乘，而是让一个矢量的投影和另一个矢量的大小相乘，这样就既体现了大小又体现了方向。

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如上图，我们有两个矢量OA和OB（线段的长短代表矢量的大小，箭头的方向代表矢量的方向），我们过A点做AC垂直于OB（也就是OA往OB方向上投影），那么线段OC的长度就代表了矢量OA在OB方向上的投影。而根据三角函数的定义，一个角度θ的余弦cosθ被定义为邻边（OC）和斜边（OA）的比值，即cosθ=OC/|OA|（绝对值表示矢量的大小，|OA|表示矢量OA的大小）。所以矢量OA在OB方向上的投影OC可以表示为：OC=|OA|×cosθ 。
既然两个矢量的点乘被定义为一个矢量的投影和和另一个矢量大小的乘积，现在我们已经得到了投影OC的表达式，那么矢量OA和OB的点乘就可以表示为：
OA·OB=OC×|OB|=|OA||OB|cosθ 。
为什么我们上面明明还在讲电场通过一个平面的通量，接着却要从头开始讲了一堆矢量的点乘的东西呢？因为电场强度也是一个矢量，它有大小也有方向（电场线的密度代表大小，电场线的方向代表它的方向）；平面其实也是一个矢量，平面的大小不用说了，平面的方向是用垂直于这个平面的法向量来表示的。而且，我们再回顾一下当平面跟电场方向有一个夹角θ的时候，通过这个平面的电通量Φ=|E|×|a|×cosθ 。这是不是跟上面两个矢量点乘右边的形式一模一样？