积分篇最美的公式：你也能懂的麦克斯韦方程组( 五 ) _生活百科

也就是说，如果我们从矢量的角度来看：电场E通过一个平面a的电通量Φ就可以表示为这两个矢量（电场和平面）的点乘，即Φ=E·a（因为根据点乘的定义有E·a=|E|×|a|×cosθ）。
这种表述既简洁又精确，你想想，如果你不使用矢量的表述，那么你在公式里就不可避免地会出现很多和夹角θ相关的地方。更关键的是，电场强度和平面本来就都是矢量，你使用矢量的运算天经地义，为什么要用标量来代替它们呢？
总之，我们知道一个电场通过一个平面的电通量可以简洁的表示为：Φ=E·a，这就够了。但是，高斯电场定律的核心思想是通过闭合曲面的电通量跟曲面包含的电荷量成正比，我们这里得到的只是一个电场通过一个平面的电通量，一个平面和一个闭合曲面还是有相当大的区别的。
07闭合曲面的电通量
知道怎么求一个平面的电通量，要怎么求一个曲面的电通量呢？
这里就要稍微涉及一丢丢微积分的思想了。我们都知道我们生活在地球的表面，而地球表面其实是一个球面，那么，为什么我们平常在路上行走时却感觉不到这种球面的弯曲呢？这个答案很简单，因为地球很大，当我们从月球上遥望地球的时候，我们能清晰地看到地球表面是一个弯曲的球面。但是，当我们把范围仅仅锁定在我们目光周围的时候，我们就感觉不到地球的这种弯曲，而是觉得我们行走在一个平面上。
地球的表面是一个曲面，但是当我们只关注地面非常小的一块空间的时候，我们却觉得这是一个平面。看到没有，一个曲面因为某种原因变成了一个平面，而我们现在的问题不就是已知一个平面的电通量，要求一个曲面的电通量么？那么地球表面的这个类比能不能给我们什么启发呢？
弯曲的地球表面在小范围内是平面，这其实是在启发我们：我们可以把一个曲面分割成许多块，只要我们分割得足够细，保证每一小块都足够小，那么我们是可以把这个小块近似当作平面来处理的。而且不难想象，我把这个曲面分割得越细，它的每一个小块就越接近平面，我们把这些小平面都加起来就会越接近这个曲面本身。
下面是重点：如果我们把这个曲面分割成无穷多份，这样每个小块的面积就都是无穷小，于是我们就可以认为这些小块加起来就等于这个曲面了。这就是微积分最朴素的思想。

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如上图，我们把一个球面分割成了很多块，这样每一个小块就变成了一个长为dx，宽为dy的小方块，这个小方块的面积da=dx·dy 。如果这个小块的电场强度为E，那么通过这个小块的电通量就是E·da 。如果我们我们把这个球面分割成了无穷多份，那么把这无穷多个小块的电通量加起来，就能得到穿过这个曲面的总电通量。
这个思想总体来说还是很简单的，只是涉及到了微积分最朴素的一些思想。如果要我们具体去计算可能就会比较复杂，但是庆幸的是，我们不需要知道具体如何计算，我们只需要知道怎么表示这个思想就行了。一个小块da的电通量是E·da，那么我们就可以用下面的符号表示通过这个曲面S的总电通量：

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这个拉长的大S符号就是积分符号，它就是我们上面说的微积分思想的代表。它的右下角那个S代表曲面S，也就是说我们这里是把这个曲面S切割成无穷小块，然后对每一块都求它的通量E·da，然后把通量累积起来。至于这个大S中间的那个圆圈就代表这是一个闭合曲面。
08方程一：高斯电场定律
总之，上面这个式子就代表了电场E通过闭合曲面S的总电通量，而我们前面说过高斯电场定律的核心思想就是：通过闭合曲面的电通量跟这个曲面包含的电荷量成正比。那么，这样我们就能非常轻松的理解麦克斯韦方程组的第一个方程——高斯电场定律了：

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方程的左边，我们上面解释了这么多，这就是电场E通过闭合曲面S的电通量。方程右边带enc下标的Q表示闭合曲面内包含的电荷总量，ε0是个常数（真空介电常数），暂时不用管它。等号两边一边是闭合曲面的电通量，另一边是闭合曲面包含的电荷，我们这样就用数学公式完美地诠释了我们的思想。
麦克斯韦方程组总共有四个方程，分别描述了静电、静磁、磁生电、电生磁的过程。库伦定律从点电荷的角度描述静电，而高斯电场定律则从通量的角度来描述静电，为了描述任意闭合曲面的通量，我们不得不引入了微积分的思想。我们说电通量是电场线通过一个曲面的数量，而我们也知道磁场也有磁感线（由于历史原因无法使用磁场线这个名字），那么，我们是不是也可以类似建立磁通量的概念，然后在此基础上建立类似的高斯磁场定律呢？