我们可以做一个不太严格的证明 。要构成一个立体角，就要求构成这些立体角的各个面的角度加起来必须小于 360 度，等于都不行 。正多边形边越多，内角就越大，正三角形的内角度是 60 度，正四边形是 90 度，正五边形 108 度，正六边形是 120 度 。构成一个立体角至少需要三条棱，如果是 120 度的话，乘以 3 就 360 度了，所以，正六边形就不能构成一个立体角 。换而言之，正多面体只能由正三角形、正四边形和正五边形这三种正多边形构成 。
如果用正三角形的话，每个角 60 度，可以有 3 条棱、4 条棱、5 条棱三种可能，分别可以构成正四面体、正八面体和正二十面体 。6 条棱就不行了 。正四边形每个角 90 度，只有 3 条棱一种可能性，可以构成正方体 。正五边形每个角 108 度，只有 3 条棱一种可能性，可以构成正十二面体 。所有可能的结果加起来就是，正多面体有且只有五个 。
柏拉图学派认为，正多面体是多面体中最美妙的，因为它的每条边一样长，每个面一样大，可是，它居然就只有五个 。这是为什么呢？这中间有什么奥妙可言吗？
对数字非常敏感的毕达哥拉斯主义学派来说，这个数字五就必然很有说道 。「怎么就这么巧，正多面体有且只有五个呢？」
哥白尼体系提出来以后，太阳成了宇宙的中心，围绕太阳旋转的行星成了六个，分别是水星、 金星、地球、火星、木星、土星 。「开普勒」是当时著名的哥白尼主义者，也是个狂热的毕达哥拉斯主义者 。于是他就琢磨，行星有六个，正多面体有五个，要说它们之间毫无联系怎么可能呢？
文章插图
开普勒在《宇宙的神秘》中关于太阳系的柏拉图式实体模型（1596年）, 图自维基
于是，他就拼命地去琢磨这六个行星的轨道 。琢磨来琢磨去，终于有一天他琢磨出来了 。通过五个正多面体，进行内切和外接的嵌套，可以产生六个球，这些球的大小正好符合六个行星的轨道尺寸 。
他想出来以后，特别兴奋，有一种发现了世界秘密的感觉，于是写了一本书，叫《宇宙的奥秘》 。那本书问世以后，被另外一个天文学家第谷看到了 。第谷发现，这个人的数学功底真不错，就决定收他为徒 。
第谷本人不是数学家，但是他有很多重大天文发现和系统而精确的天文记录，特别是，他有非常完整的火星位置数据 。开普勒继承了第谷的数据，在此基础上最终发现了行星运动的三定律 。开普勒三定律直接导向了牛顿的万有引力定律，是天文学史上一个非常伟大的发现 。可是，指导他做出伟大发现的动机，竟然是柏拉图学派最早发现的五个正多面体 。
【普通人如何才能接近理念世界？柏拉图的答案是：学习数学】
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