著名的哥德巴赫猜想，到底在猜什么？( 二 ) _哥德巴赫猜想

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参加学术会议的希尔伯特。1900年，希尔伯特在巴黎举行的第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲，提出了23个最重要的数学问题。希尔伯特问题在相当一段时间内引导了世界数学研究的方向，有力地推动了20世纪数学的发展。在许多数学家努力下，希尔伯特问题中的大多数在20世纪中得到了解决。
然而这长达160余年的探索并非毫无成果。由于欧拉、高斯、黎曼、狄利克雷、阿达马等数学家在数论与函数论领域的突破性研究，为之后以哥德巴赫为代表的数论研究打下了坚实的基础。
突破：划破夜空的曙光数学是科学中的皇后，而数论是数学中的皇后。
——卡尔·弗雷德里希·高斯
问题真正的实质性进展出现在二十世纪20年代。当时出现了两种代表性的思路，一种是英国数学家哈代与李特尔伍德在1923年论文中使用的"哈代-李特尔伍德圆法"[6]，另一种是挪威数学家布朗（Viggo Brun）使用的"布朗筛法"[7,8] 。

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哈代（左）、李特尔伍德（中）与布朗（右）。哈代，英国数学家，二十世纪英国分析学派的代表人物，其研究对后世分析学和数论的发展有深刻的影响。李利特尔伍德，英国数学家，研究领域涵盖数论和数学分析，与哈代有着长达35年的合作。布朗，挪威数学家，其在数论领域的工作极大地推动了哥德巴赫猜想和孪生素数猜想等的研究。

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借助上述方法，哈代和李特尔伍德在1923年的论文中证明了"在假设广义黎曼猜想成立的前提下，每个充分大的奇数都能表示为三个素数的和以及几乎每一个充分大的偶数都能表示成两个素数的和"[6] 。这里的"广义黎曼猜想"，指的是用狄利克雷L函数代替黎曼猜想中的黎曼ζ函数，其他表述不变。哈代和李特尔伍德的工作使哥德巴赫猜想的证明向前迈进了一大步。

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利用上述方法，布朗在1919年证明，"每个充分大的偶数都可以写成两个数之和，并且这两个数每个都是不超过9个素因数的乘积"[7]，所以上述结论也被记作"9+9" 。按照布朗的思路，如果最终可以将素因数的个数缩减至1个，即最终证明"1+1"，那么也就意味着证明了哥德巴赫猜想。
冲刺：鼓舞人心的号角陈景润的每一项工作，都好像是在喜马拉雅山山巅上行走。
——安德烈·韦伊
上文提到的两种思路都在二十世纪都得到了极大的发展。这也极大地推动了哥德巴赫猜想和弱哥德巴赫猜想的证明工作。1937年苏联数学家维诺格拉多夫（Ivan Vinogradov）在对于弱哥德巴赫猜想研究中取得了重大的突破[10] 。他在圆法的基础上，去掉了哈代和李特尔伍德证明中对于广义黎曼猜想的依赖，完全证明了"充分大的奇素数都能写成三个素数的和"，即"哥德巴赫-维诺格拉多夫定理" 。不过维诺格拉多夫无法给出"充分大"的下限，所以找到这一下限便成为了弱哥德巴赫猜想研究的主要方向。2013年秘鲁数学家哈洛德·贺欧夫各特（Harald Andrés Helfgott）成功将维诺格拉多夫"充分大"的下限缩小至10的29次方左右，通过计算机验证在此之下的所有奇数，结果无一例外都符合猜想，从而最终完成了弱哥德巴赫猜想的证明[11] 。

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维诺格拉多夫（左）与哈洛德·贺欧夫各特（右）。伊万·马特维耶维奇·维诺格拉多夫，苏联解析数论专家，斯捷克洛夫数学研究所所长。哈洛德·贺欧夫各特，秘鲁数学家，法国国家科学研究院和巴黎高等师范学院研究员。
相比较而言，强哥德巴赫猜想的研究困难相对更大。不过二十世纪上半叶以来，数学家遵照布朗筛法的研究思路，也取得了长足的进展。在布朗证明"9+9"后不久，1924年德裔美籍数学家拉德马赫（Hans Adolph Rademacher）成功证明了"7+7"[12]，1932年德国数学家埃斯特曼（Theodor Estermann）证明了"6+6"[13]，苏联数学家布赫希塔布（Alexander. A. Buchstab）于1938年和1940年证明了分别证明了"5+5"与"4+4"[10] 。