著名的哥德巴赫猜想，到底在猜什么？( 三 ) _哥德巴赫猜想

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拉德马赫图片来源：Math Gene Proj

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埃斯特曼图片来源：Oxford Univ. Press
布朗筛法较以往的数论方法而言有很强的组合数学特征，应用起来比较复杂。所以在研究的过程中，数学家不断对原有的筛法进行改进。考虑到以往的证明中，总是将命题"a+b"与对一个筛函数的估计直接联系起来，得到的结果相对较弱。1941年，库恩（P. Kuhn）提出了"加权筛法"，借此我们可以在同样的筛函数上、下界估计的基础上得到强结果。例如库恩于1954年就给出了"a+b<7"[8]，即每个偶数都可以写成两个数之和，使得它们各自的素因数个数加起来的总和小于7 。而1950年前后挪威数学家阿特勒·塞尔伯格（Atle Selberg）提出的"塞尔伯格筛法"[15]则使得哥德巴赫猜想的研究前进了一大步。塞尔伯格利用求二次型极值的方法极大地改进了筛法，由此法可以得到筛函数的上界估计，结合布赫希塔布恒等式可以得到筛函数的下界估计。在此基础上，维诺格拉多夫、王元等数学家先后完成了"3+3"、"a+b"（a+b<6）以及"2+3"的证明[10] 。

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塞尔伯格图片来源：wikipedia

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布赫希塔布图片来源：liveinternet.ru
阿特勒·塞尔伯格，挪威数学家。研究方向涵盖解析数论，以及自守形式理论。获得1950年的菲尔兹奖和1986年的沃尔夫数学奖。亚历山大·布赫希塔布，苏联数论专家，以其对筛法的研究而闻名。
以上的结果中，比较遗憾的是无法证明偶数分拆成的两个数中一定有一个是素数。主要原因就在于要证明形如"1+x"的命题时，需要估计筛函数S(A,P,z)的上界和下界时，需要估计主项与余项，并证明余项相对于主项可以忽略。这有点类似圆法的思路。不过"1+x"的估计涉及到算术级数中素数分布的均值定理，需要利用较为复杂的解析数论手段。
最早取得突破的是匈牙利数学家阿尔弗雷德·伦伊（Alfréd Rényi）[16] 。他率先定性地证明了命题"1+x"，但却没能给出x的具体值。而在这一领域里，我国老一辈数学家取得了卓越的成绩。1962年潘承洞利用伦伊的思路成功证明了"1+5"，同年王元指出潘承洞的结论实则可以推出"1+4" 。

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中国解析数论学派：华罗庚，王元，潘承洞与潘承彪图片来源：U of St And、财新网
"中国解析数论学派"指以华罗庚为代表的数论学派，该学派对于质数分布与哥德巴赫猜想作出了许多重大贡献。华罗庚，中国科学院院士，美国国家科学院外籍院士。他是我国解析数论、典型群、矩阵几何、自守函数论与多元复变函数等领域研究的创始人与奠基者，也是中国在世界上最具影响力的数学家之一。王元，中国科学院院士。他首先将解析数论中的筛法用于哥德巴赫猜想的研究。潘承洞，中科院院士，以哥德巴赫猜想的研究闻名。他首先确定命题"1+x"中x的具体数值，并证明命题"1+5"和"1+4"成立。潘承彪，中科院院士，著名数论学家，潘承洞胞弟，亦是数论学家张益唐在北京大学时的研究生导师。
而使用筛法的最好结果是由我国数学家陈景润得到的。1966年，陈景润在《科学通报》上发表了有关"1+2"的证明，即"任何一个充分大的偶数都可以表示成两个素数的和或者一个素数及一个2次殆素数的和"[17] 。换言之，对于任给一个大偶数N，总可以找到奇素数p',p''或p1,p2,p3，使得下列两式至少有一个成立：

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1973年，陈景润给出了"1+2"的详细证明，同时改进了1966年研究的数值结果。是年4月，中国科学院主办的《中国科学》上，公开发表了陈景润的论文《大偶数表为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》[18] 。在这一证明中，陈景润对筛法作出了重大的改进，提出了一种新的加权筛法。因此"1+2"也被称为陈氏定理。