边策 杨净 发自 凹非寺
量子位 报道 | 公众号 QbitAI
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请听题：
如何将苹果平均一分为二 ， 还能保证它长时间的新鲜？
【统计学|困扰数学家25年的“切苹果”难题，被一位华人统计学博士解决了】这是一个严肃的科学问题 ， 已经困扰了人类数学家25年之久 。
根据常识 ， 就是要保证果肉暴露在外面的面积最小 ， 也就是切片的面积最小 。 如果跨越到更高的维度 ， 是否依然成立？
这就是1995年 ， 由三位数学家提出的一个几何学猜想 。
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现在 ， 这个难题被一位华人统计学博士 ， 解决了 。
成果一经发布 ， 就迅速引起了数学、理论计算机科学、统计学等多个领域的科学家的关注 。
他们一致认为 ， 数学大师、菲尔兹奖得主 ， 原本猜想的提出者Jean Bourgain（让·布尔甘）一定会对这一进展感到兴奋 。
毕竟 ， 在他去世前（2018年）的几个月里还在关心这一问题进展 ， 但终其一生都未能解决 。
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困扰数学家25年的几何问题
1984年 ， 著名数学家让·布尔甘提出了一个猜想 。
一个任意维度的凸体 ， 用低一维的平面去平分 ， 那么存在一个常数c ， 让凸体至少存在一个切面的面积大于c 。
换句话说 ， 如果你一刀平分“任意维度空间的西瓜” ， 随便你怎么劈 ， 总有一个切面总大于c 。
（Ps：以往的科学家用的是苹果的例子 。 但准确来说不能选苹果 ， 因为苹果上下是凹的 。 ）
在3维空间中 ， 这个结论似乎很好理解 ， 因为无论西瓜长成什么奇形怪状 ， 总不可能在每个角度都细长 。
像下面这样的长西瓜 ， 竖直切下去 ， 切面很小 ， 可以你也可以水平切开平分它 ， 这样切面就会很大 。
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但在3维世界中正确的事情 ， 到了高维空间却不一定成立 。
这个问题后来被布尔甘自己证明 ， 但数学家们并不满足于用平面切西瓜 ， 而是希望能找到一个更小的切面 ， 它可以是曲面 。
而这恰好是1995年Kannan、Lovász和Simonovits三人提出的KLS猜想关心的问题：用来平分的最小曲面面积是多少？
以二维空间里的一个三角形为例 。
这个最小的“曲面”是一段圆弧 。 用圆弧来平分一个三角形 ， 中间的线长度最短 ， 而最佳“平面”——直线——的效果略差 。
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△ 如何用最小“切面”平分三角形（来源：Quanta Magazine）
到了更高维度的空间中 ， 二等分的最佳平面和最佳曲面差距会变大吗？切面的面积是否和维度d有关？
这个问题已经不再是纯粹的数学问题 。
普林斯顿大学数学系教授Assaf Naor表示 ， KLS猜想在纯粹的数学和理论计算机科学中都很重要 。
KLS猜想的结果 ， 直接关系到随机行走算法的运行时间 ， 如机器学习模型中采样问题 。
所以最后解决这个几何问题的学者 ， 都并非几何学的专家 ， 而是来自计算机界 。
用统计方法解决他
经过数学家的抽象 ， KLS猜想就像一个封装着气体的容器 ， 找到最佳切面就是寻找容器的“瓶颈” 。
想象一个哑铃形状的容器 ， 里面有一个气体分子在随机运动 ， 哑铃中间连接部分越细 ， 分子就越难跑到另一侧 。
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△哑铃形的平分切面很小（来源：Yin Tat Lee论文）
现在人们想知道 ， 在高维空间 ， 这个凸的容器最细的地方有多细 。 （当然 ， 哑铃并非是凸的 。 ）
2012年 ， Eldan通过引入一种称为随机定位的技术 ， 来降低这个问题与维度上界 。 （到底是维度d的几次幂 。 ）
2015年末 ， 华盛顿大学的Vempala和Yin Tat Lee改进了Eldan的随机定位 ， 以进一步将KLS因子（用于描述瓶颈是否存在）降低到维度的四次根d1/4 。
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△ KLS猜想的上界不断降低（来源：同上）
甚至 ， 他们还将幂指数降低到几乎为0 ， 由于d的0次幂总是等于1 ， Lee和Vempala似乎证明了KLS因子是一个与维度无关的常数 。
他们在arXiv上发布了他们的论文 。 但是几天后 ， 这篇文章就被人发现了一个缺陷 ， 他们关于d0的证明是错的 。
之后 ， 二人修改了文章 ， 把界限重新调整到d1/4 。 几年来 ， 研究人员认为KLS猜想的探索已经到此终结了 。
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不过他们还在论文中 ， 保留了d0证明的一些想法 。 这也为后来的突破埋下伏笔 。
他们的论文引起了另一位统计学者Yuansi Chen的注意 。
Chen当时是加州大学伯克利分校的统计学研究生 ， 他正在研究随机采样方法的混合率 。 而随机抽样是许多类型统计推断中的关键 ， 例如贝叶斯统计 。
Chen深入研究文学 ， 花了数周时间试图填补Lee和Vempala的证明中的空白 ， 但依然没有解决 。
于是他转变了思路 ， 在Lee和Vempala的思想指导下 ， 他找到了一种方法 ， 采用递归来降低KLS因子上界 。
经过反复迭代 ， 这种方法将KLS猜想问题再次拉回到d0的上界 。
这一结果意味着 ， 高维凸形物体不会有哑铃那样的结构 。
该定理的结果意味着 ， 在n维凸体中随机行走 ， 遍历整个图形的速度比我们之前预想得要快得多 。
这将有助于计算机科学家对不同的随机采样算法进行优先级排序 。
三个计算机相关的科学家
虽然表面看上去 ， 这三位学者似乎跟数学没什么关系 。
但仔细翻看他们的履历 ， 他们都曾跟数学结下了不小的缘分 。
首先 ， 直接与研究相关的这位统计学博士后——Yuansi Chen （陈远思 ， 音译） 。
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今年年初 ， 他开始在杜克大学统计科学系担任助理教授的职位 。
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主要研究方向是统计机器学习、优化以及在神经科学中的应用 ， 尤其对其中域适应性、稳定性、MCMC采样算法、卷积神经网络和计算神经科学中出现的统计问题感兴趣 。
2019年 ， 他在加州大学伯克利分校统计系获得博士学位 。
其博士生导师是著名华裔统计学家、UC伯克利统计系和电子工程与计算机科学系终身教授郁彬 。
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在攻读博士之前 ， 他还在法国Ecole Polytechnique获得了应用数学专业的工程师文凭 。
随后 ， 前往在苏黎世联邦理工学院ETH Foundations of Data Science（ETH-FDS）做博士后研究 。
而启发Yuansi Chen数学灵感的 ， 是两位计算机科学家 。
Yin Tat Lee （李贤达 ， 音译）和Santosh S. Vempala 。
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李贤达 ， 目前是华盛顿大学助理教授 ， 本科毕业于香港中文大学 。
2012年从港中文大学毕业后 ， 前往麻省理工学院攻读博士学位 ， 随后前往微软研究院做博士后研究 。
他的研究方向主要在算法方面 ， 包括凸优化、凸几何、谱图理论和在线算法等广泛的课题 。
以往的研究里 ， 他曾结合连续数学和离散数学的思想 ， 大幅提升了在计算机科学和优化中许多基本问题的算法 ， 比如线性编程和最大流量问题 。
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他曾获得SODA最佳论文奖、NeurIPS 2018最佳论文奖、NSF职业奖 。
去年他还获得了有“诺奖风向标”之称的斯隆奖 ， 以及美国最大的非政府奖学金之一——帕卡德奖学金 。
再来看Santosh S. Vempala ， 佐治亚理工学院计算机科学教授 。
主要研究领域是理论计算机科学 ， 还抽样、学习、优化和数据分析的算法工具；随机线性代数 ， 高维几何 。
他曾在卡内基梅隆大学攻读博士学位 ， 本科毕业于印度理工学院的计算机专业 ， 曾获NSF职业奖、斯隆奖等奖项 。
在来到佐治亚理工学院之前 ， 他曾担任MIT应用数学系担任教授、UC伯克利米勒研究员 。
数学家：不可思议
随着陈远思论文一发布 ， 迅速就引起了数学界的学者关注 。
不光是因为此前的错误证明 ， 还由于陈远思这个名字在数学界十分陌生 ， 研究人员对待这一成果十分谨慎 。
但他的方法很容易被验证 。
早期研究过KLS猜想的以色列数学家BoázKlartag ， 就在第一时间看了论文 。
我基本上立即停止了我正在做的一切事情 ， 并检查了这篇论文 。
这篇论文是100%正确的 ， 这一点毫无疑问 。
除了一众数学家关注之外 ， 还引起了理论数学家、统计学等领域的注意 。
哈佛大学计算机科学教授、微软研究院前新英格兰首席研究员Boaz Barak则发推祝贺 。
并表示这是一个非常重要的突破 ， 加速了对近似凸体体积的研究 。
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但点赞祝贺之余 ， 也有不少学者表示十分遗憾 。
因为提出这一猜想的人菲尔兹奖得主布尔甘已于2018年去世 ， 如果他还在的话 ， 一定会为这一进展感到兴奋 。
据QuantaMagazine报道 ， 布尔甘曾在去世前几个月 ， 联系了他的朋友、特拉维夫大学教授Vitali Milman ， 询问这一猜想是否有任何进展 ， 想在离开之前知道答案 。
但Vitali Milman说 ， 布尔甘在这一问题上 ， 花费的时间和投入的精力比任何其他问题多得多 。 没想到 ， 最后这个问题却被统计学解决了 。
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