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数学|一道高难度印度数学竞赛题：解根式方程，正确率不到5%


数学|一道高难度印度数学竞赛题：解根式方程，正确率不到5%
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数学|一道高难度印度数学竞赛题：解根式方程，正确率不到5%
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初中阶段已经学习平方根、立方根等数字的简单开方运算 ， 然后扩展到了二次根式等知识 。 对于不少学生来说 ， 开方运算的难度比较大 ， 特别是二次根式等内容 。 今天和大家分享一道高难度的印度初中数学竞赛题：解根式方程 ， 据说当时的正确率不到5% 。
下面我们一起来看一下这道竞赛题 。
这道题是一个五次根式的方程 ， 不少考生看到这个方程心里多少有一些畏惧感 。 毕竟如果是国内 ， 初中可没有学习太复杂的根式的计算 ， 也没有学习分数指数幂的计算 ， 所以这道题让不少学生觉得很难找到突破口 ， 那么该怎么办呢？
既然没有学过分数指数幂以及开五次方的计算 ， 那么我们就先想办法把开五次方变成常见的整数指数幂的计算 ， 所以可以考虑使用换元法 。
比如我们可以设5√(a+5)=m ， 5√a=n ， 则a=n^5 ， 且m^5-n^5=5 ， 再联合题目给出的方程即可组成一个关于m、n的二元方程组 ， 而且这个二元方程组不需要把m、n完全解出来 ， 只需要解出n^5的值即可 。 过程如下：
在上面的计算中 ， 需要注意对64^5的处理 ， 要将其变成某个数的6次方 ， 即32^6 ， 这样才方便后续的计算 。 另外 ， 在开六次方的时候 ， 因为开的是偶数次方 ， 所以需要注意数值的正负 ， 并且要代入题干进行检验 。 本题中 ， 开方后的正负数都满足要求 ， 所以有正负两个值 。
当然 ， 有网友表示这是一道竞赛题 ， 用到一点书本以外的知识也是无可厚非的 ， 所以直接用分数指数幂的运算法则计算即可 。 那么我们先来看一下分数指数幂的运算 。
【数学|一道高难度印度数学竞赛题：解根式方程，正确率不到5%】首先 ， 明确一点 ， 根式可以写成分数指数幂的形式 ， 比如开平方就是二分之一次方 ， 开立方就是三分之一次方 ， 开五次方就是五分之一次方 。
其次 ， 不管指数是整数还是分数 ， 其运算法则都和整数是一样的 。
有了上面的知识准备 ， 那么这道题也可以不用换元法直接求解 。 为了方便计算 ， 先将根号写成分数指数幂的形式 ， 再按照分数指数幂的运算法则进行计算即可 。
总结：本题的难点主要有以下两点：
第一、如果是采用换元法 ， 最后得到的方程次数高 ， 不少考生尝试一下后就放弃了 。 如果不换元 ， 那么又需要用到分数指数幂的运算 ， 而这一点在初中阶段并没有系统学习；
第二、在开六次方的时候 ， 不少学生直接忽略了负数这个值 ， 导致漏解 。
总的来说 ， 这道题的难度很大 ， 考生的正确率也不高 。 你觉得这道难吗？


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