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「点知教育」初中数学：线段间量的关系( 二 )


例3、直角△ABC中 ， CD是斜边AB上的高 ， 圆（CD）分别交AC、BC于E、F 。
求证：
。
「点知教育」初中数学：线段间量的关系
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解析：题中条件的特点明显的给出几个直角三角形以及切、割线 。 可以提供射影定理 。 而题断的左边是线段的三次幂比 ， 自然要降去一次幂 ， 得到
。
剩下的左边比
有多种替代比 ， 如何选择？右边比
用什么比替代能较好的表达它与比
的联系？
这时考虑到 和 的结果 ， 可将上式两边同时升幂二次（平方） ， 由。
立即推出题断 。
当然对左边作一次性处理 ， 降到一次幂比 。 连结DE、DF可由
「点知教育」初中数学：线段间量的关系
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相乘之而得结果 ， 不过要兜圈子绕弯路 。
四、伸缩法
在比较两个同类量的长短（线段）、大小（角、面积）时 ， 常将短的线段伸长 ， 长的线段缩短 。 如果两条线段不在同一直线上 ， 尽量的变直 ， 求和则延伸 ， 相反求差则截取 。 这种方法我们归结为伸缩法 。
例4、如图5 ， △ABC中 ， AB=AC ， P、Q在圆ABC的 上 。
求证：
。
「点知教育」初中数学：线段间量的关系
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解析：用对等法和平衡法证明 ， 过程将冗繁 。 式子的主要症结在妥当处理PB+PC和QB。 设想当PB、PC及QB、QC共线时 ， 就形成四条比例的状态 。 伸直延长PB至D使BD=PC；弯直在BQ内截取BE=CQ（题中∠QCB>∠ACB=∠ABC>∠QBC有BQ>CQ） 。 原题断转换为。
由∠ABD=∠ACP得△ABD≌△ACP ， 进而有等腰△ADP∽△ABC 。
同理 ， 因△ABE≌△ACD有等腰△AEQ∽△ABC 。
于是 ， 等腰△ADP∽△AEQ 。
命题得证 。
五、试探法
线段相关式中 ， 可能出现一类情况：几条变化线段之间量的关系是确定不变的 。 例1就是两个变半径（ ）的积用不变量（a）表示的 。 几何里的定值问题 ， 轨迹问题也反映了“变中有不变 ， 不变中有变”的哲理 。 遵循“一般——特殊——一般”的原则 ， 将变量放置在特定的位置去考虑试探它们与不变量存在的关系 ， 然后在任意位置给予论证 。
例5、试证：正三角形内切圆上任一点到三顶点距离的平方和为定值 。
解析：如图6 ， 设P是正三角形内切圆上任一点 。 记圆半径为r（或三角形边长为a） ， 是确定的不变量 。
显然 ， 圆心O也即三角形的重心（外心） ， 其中。
当P在E点（OA的中点时）有：
当P在切点F处时 ， 有
因此 ， 只要证明P在圆上任意点时 ， 满足。
连结PO（一般与特殊结合） ， 并记∠POA为， 即∠POB=120°， ∠POC=120°+ ， 施用余弦定理
三式相加得
其中 ，。
对命题的条件作适当的改变或推广：正三角形外接圆上一点、正多边形内切圆（外接圆）上一点 。 得到相应地题断：该点到各点距离的平方和为定值 。
「点知教育」初中数学：线段间量的关系
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