「点知教育」初中数学：线段间量的关系
北京联盟_本文原题：初中数学：线段间量的关系
【「点知教育」初中数学：线段间量的关系】一、对等法
对等的数学含义是指给定条件下引发的诸种情形具有同等的地位 ， 推理过程有“平行”的独立性 ， 结论表现出“相似”的一致性 。
例1、菱形ABCD的对角线BD等于菱形的边长 ， 过顶点C在形外作直线分别交AB、AD于M和N ， BN与DM交于P 。
求证：圆BPM与圆DPN的半径之积等于菱形边长平方的三分之一 。
本文插图
设菱形的边长为a ， 圆BPM与圆DPN的半径分别为 和。 命题的题断即可表示为：
。
解析：推出这个式子 ， 要解决两个矛盾 。
第一 ， 式中的常数
如何处理？注意到圆BPM与圆DPN处在对等状况！题断可以改写为对等式：
第二 ， 这个等式如何落实？当MN//BD时 ， 构成轴对称图形 ， 其中圆BPM、圆DPN分别处于两个相似的正三角形BMC和DNC中 ， 因， 而满足。
对于一般情形 ， 、是变量 ， 随MN的位置而变化 ， 它们各自与定数a无确定关系 ， 上述的推理不适用 ， 但对等意义并没有失去 ， 作为一种重要的数学思想和方法 ， 可以被借鉴 。
由菱形性质知：△BMC∽△DCN ，
有BM·DN=BC·DC=a·a ，
于是题断转换为新对等式：
BM·DN=。
为使BM=，成立 ， 只须证明∠BPM=60° ， 这个思维的集中点是容易解释的 。
本文插图
∠BPM=60° 。
二、平衡法
当线段相关式两边的项数或系数不相同时 ， 为便于考查对比 ， 总希望在结构形式上能“同一”化 。 这种心理的直观要求反映到思维活动中就是平衡法 。
例2、在圆O的直径MN延长线上截取MA=OM ， 作AB⊥OA ， 引BC切圆O于C ， 作PM⊥OA交BC于P 。
求证：。
解析：题断两边的项数相同 ， 一般不再拆项分离 ， 尽量避免新添不必要的麻烦 ， 不妨试将常数2化并到PB（或PC）中去 ， 变成比例中项式： 或。
此时因PA不垂直BC ， 不能使用射影定理 ， 可进一步对PA采取相应地加倍措施 ， 借助于相交弦定理 。
证法一：如图2所示 ， 延长PC到E使CE=CP ， 延长AP至F使PF=PA 。 题断即转换为：PA·PF=PB·PE ， 为此只要证明∠1=∠2 ， 这可由条件得到递推简略式为：
∠1=∠3=∠4=∠5=∠6=∠2 。
其中∠4=∠5是因为PE=OF（=2·PM） ， 使△POE与△OPF等腰且相似 。
本文插图
证法二：如图3所示 ， 延长PB至E ， 使BE=PB ， 延长OP至F ， 使PF=OP（=PA） 。 原题断转换为PO·PF=PC·PE 。
注意到FA、BA都垂直于OA而平行重合 ， 且∠1=∠2 ， ∠3=∠4 ， 即∠1+∠3=90° ， 于是△PEF∽△POC 。
得证命题 。
比较两种证法 ， 后者抓住垂直条件的主线索 ， 思维过程简捷清晰 。
本文插图
三、降（升）幂法
线段与实数是一一对应的 ， 任何线段在量度上都可以表示成其他线段的一次齐次解析式 。 根据线段的尺规作图理论 ， 线段间这种相关式总能够通过五种（加、减、乘、除、开平方）代数运算而最终获得 。 对一些关系式如果两边的幂指数不一致或者即使幂指数相同 ， 为了证明方便 ， 有时需要采用适当的降（升）幂的方法 。 先将较高（低）次幂的项降（升）幂化为常见的基本形式 ， 然后进行有机地融合归总 。
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