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科学大家@世界是确定还是随机？如何巧妙用数学调查传染病？( 五 )


当δ=10、β=8/3和ρ=28时 ， 数值计算发现方程解的轨道呈现出下面的奇怪现象：
无论从哪里出发 ， 所有轨道最终都会跑向以上这个图形 ， 在数学上被称为一个奇异吸引子 。
也就是说对于上面的三维方程 ， 从几乎所有的初始点出发 ， 跟踪该点的轨道就会发现 ， 它在做一种非常类似的、看似简单的运动 ， 其运动轨迹最终都会画出如上奇异吸引子的形状 。
这个形状大致可分为两个部分 ， 暂且定为左边和右边 。 但对每一根轨道的每一个时刻 ， 运动出现在左边还是右边是非常随机的 ， 看上去毫无章法 。
在吸引子上任意选取一点 ， 它的轨道往往在左边走若干圈后 ， 再到右边走若干圈 ， 然后再回到左边走若干圈 ， 如此往返 ， 以至无穷 。
每一次在每一边走的圈数由初始点决定 ， 类似于蝴蝶效应 ， 稍微变动一下初始点位置 ， 但一定时间以后就会出现很大差异 ， 将来出现在左边和右边的次数就与原来完全不一样 。 也就是说 ， 长时间以后 ， 出现在左边或右边变成完全随机 。
Lorenz系统是一个混沌系统 。 它是一个确定性的动力系统 ， 因为它的运动完全由一组常微分方程确定；但是它具有不可测性 ， 即我们没有任何办法去精确地知道一个点经过长时间运动后的位置 。 只要时间长了 ， 一个非常小的误差都会给最终测量带来非常大的、不可接受的误差 。
五、复杂度、信息量和熵
如果把Lorenz系统的运动轨道按出现在左边或右边分别标记为0或1 ， 我们就会发现对于这样一个确定的动力系统 ， 它的运动轨道也与前面一串抛硬币的实验结果一样 ， 可以得到一串由0和1组成的数字序列 。 在信息学领域 ， 一串摩尔斯密码也给出了一串由0和1组成的序列 。
Lorenz系统、抛硬币实验、摩尔斯密码 ， 这三个例子分别代表了确定系统、随机系统和信息传播系统 。 而从数学的角度来看 ， 它们是一模一样的 ， 没有任何区别 。
一根轨道、一串抛硬币实验和一串摩尔斯密码带来的都是一串0或1的字符 。 所以 ， 这三个系统在本质上不存在所谓的随机和确定的严格区分 ， 而且它们的很多性质可以用同一种方法去研究 ， 比如我可以研究不同系统的复杂性 。
熵的概念是度量动力系统复杂性的一种方式 ， 熵越大表示系统越复杂 。 但在概率论和信息学里同样的概念 ， 或者同样的量 ， 有不同的意义和应用 。
熵在概率学或信息论里代表的是信息量 ， 或者说是信息量的期望值 。 熵越大则信息量越高 。 信息量在大数据分析里有重要的应用 。
熵在网络或信息传播学里代表的是网络容量和传播能力 。 熵越大则网络容量越大 。
综上所述 ， 表面上看这些系统以及相对应的概念是完全不一样的 ， 有时甚至是相对立的 ， 比如说随机和确定的系统 ， 但数学把他们巧妙地统一起来了 。
随机？确定？这取决于你观察的位置 。
本文根据夏志宏教授2020年3月21日在高山大学和更新学堂联合出品的“科学公益直播”的课程整理而成 ， 经老师审核后公开发布 。
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