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10个有趣的数学算术游戏 数学游戏( 二 )


你可能会想 ， 不断“加一正一负” ， 最后总能得到一个回文 ， 这当然不足为奇 。事实也确实如此——对于几乎所有的数字 ， 按照规律 ， 回文迟早会出现 。然而 ， 196是一个明显的例外 。数学家用计算机计算了3亿多位数 ， 没有一个产生过回文 。从196开始 ， 可以加回文吗？196有什么特别之处？这仍然是一个谜 。
Farey 序列选择一个正整数n ， 找出所有分母不大于n的最简单分数 ， 按从小到大排序 。这个分数序列称为Farey序列 。例如 ， 下面显示了n = 7时的Farey序列 。

定理:在Farey数列中 ， 对于任意两个相邻的分数 ， 先计算前者的分母乘以后者的分子 ， 再计算前者的分子乘以后者的分母 ， 那么两个乘积之差一定正好是1！
这个定理从数论到图论都有各种证明 。甚至还有一种方法 ， 巧妙地利用Pick定理来证明 ， 把它变成一个不证自明的几何问题！
唯一的解经典谜题:用1到9组成一个九位数 ， 使这个数的第一位能被1整除 ， 前两位能被2整除 ， 前三位能被3整除 ， 以此类推 ， 直到整个九位数能被9整除 。
是的 ， 真的有这么一个猛号:381654729 。其中3可被1整除 ， 38可被2整除 ， 381可被3整除 ， 直到整数可被9整除 。这个数可以通过整除的性质一步步推导出来 ， 也可以通过计算机编程求出 。
另一个有趣的事实是 ， 在所有362 ， 880个由1到9组成的不同九位数中 ， 381654729是唯一符合要求的！

数在变 ， 数字不变23456789的双精度是246913578 ， 它只是由1到9组成的另一个数 。
46913578的双精度是493827156 ， 它只是由1到9组成的另一个数 。
再次加倍493827156 ， 987654312 ， 还是正好由数字1到9组成 。
如果你再把987654312加倍 ， 你会得到一个10位数字1975308624 ， 仍然不包含重复的数字 ， 由0到9的10个数字组成 。
再加倍1975308624 ， 这个数就会变成3950617248 ， 仍然由0到9组成 。
然而 ， 这一规则不会永远存在 。如果继续翻倍3950617248 ， 会得到7901234496 。第一次 ， 有例外 。
三个神奇的分数1/49等于0.0204081632 …换算成十进制后 。小数点后断开两位 。前五位依次是2、4、8、16、32 ， 每一位恰好是前一位的两倍 。
00/9899等于0.01010203050813213455 …两个数断开后 ， 每个数正好是前两个数的和(即斐波那契数列) 。
另一方面 ， 100/9801等于0.00000000005
组合数学中的“生成函数”可以完美地解释这些现象的成因 。
【10个有趣的数学算术游戏 数学游戏】


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