二次型化为标准型二次型化为标准型配方法 _二次型化为标准型

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本篇文章给大家谈谈二次型化为标准型,以及二次型化为标准型配方法对应的知识点，希望对各位有所帮助，不要忘了收藏本站！
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二次型化为标准型
求问如何将二次型化为标准形，急求！！！
二次型化为标准型的步骤？
二次型化为标准形有哪些方法啊？？麻烦举例说明下！！
为什么二次型一定可以化为标准型？
二次型化为标准型的步骤。

Q1：二次型化为标准型设对应的二次型矩阵A的特征值为λ
则|A-λE|=
1-λ -2 0
-2 5-λ -1
0 -1 1-λ 第1行减去第3行×2
=
1-λ 0 2λ-2
-2 5-λ -1
0 -1 1-λ 第3列加上第1列×2
=
1-λ 0 0
-2 5-λ -5
0 -1 1-λ 按第1行展开
=(1-λ)[(5-λ)(1-λ)-5]
=(1-λ)(λ^2-6λ)=0
解得λ=1,0,6
你算得没有错,
但要注意的是,
二次型的各项系数不是唯一的,
即一个二次型得出的标准型不是唯一的
所以在这里选择答案的时候,要看的只是y对应的正负号,
1,0,6中有2个正数,1个0,
所以只有A是满足的
Q2：求问如何将二次型化为标准形，急求！！！写出二次型f的矩阵之后，先求出二次型f 的所有特征值和特征向量再将特征向量单位正交化。
进一步进行单位化
由这些特征向量组成的矩阵Q就可以将A对角化
二次型就化为标准型了
这里的三个特征值为2，1，1
那么标准型f=2y1^2 +y2^2 +y3^2
而规范型的意思就是特征值的正负号，即正负惯性指数这里的三个特征值都大于0，
那么化为规范型f=z1^2+z2^2+z3^2
扩展资料；
定义
设V是在交换环R上的模；R经常是域比如实数，在这种情况下V是向量空间。[1]
映射Q:V→R被称为在V上的二次形式，如果
Q(av) =aQ(v)对于所有和，并且
2B(u,v) =Q(u+v) ?Q(u) ?Q(v)是在V上的双线性形式。
这里的B被称为相伴双线性形式；它是对称双线性形式。尽管这是非常一般性的定义，经常假定这个环R是一个域，它的特征不是2 。
V的两个元素u和v被称为正交的，如果B(u,v)=0 。
双线性形式B的核由正交于V的所有元素组成，而二次形式Q的核由B的核中的有Q(u)=0的所有元素u组成。如果2是可逆的，则Q和它的相伴双线性形式B有同样的核。
双线性形式B被称为非奇异的，如果它的核是0；二次形式Q被称为非奇异的，如果它的核是0 。
非奇异二次形式Q的正交群是保持二次形式Q的V的自同构的群。
二次形式Q被称为迷向的，如果有V中的非零的v使得Q(v)=0 。否则它称为非迷向的。二次空间的一个向量或子空间也可以被称为迷向的。如果Q(V)=0则Q被称为完全奇异的。
参考资料来源；百度百科-二次型

Q3：二次型化为标准型的步骤？1、含平方项的情形
用配方法化二次型f(x1,X2,X3)=X1^2-2X2^2-2X3^2-4X1X2+12X2X3为标准形
解: f=x1^2-2x2^2-2x3^2-4x1x2+12x2x3
--把含x1的集中在第一个平方项中, 后面多退少补
= (x1-2x2)^2 -6x2^2-2x3^2+12x2x3
--然后同样处理含x2的项
= (x1-2x2)^2 -6(x2-x3)^2+4x3^2
2、不含平方项的情形
比如 f(x1,x2,x3) = x1x2+x2x3
令 x1=y1+y2, x2=y1-y2
代入后就有了平方项, 继续按第一种情形处理
3、特征值方法
写出二次型的矩阵
求出矩阵的特征值
求出相应的特征向量

矩阵半正定和正定判定：
实对称矩阵A正定
<=>A合同于单位矩阵
<=>A的特征值都大于0
<=>X'AX的正惯性指数 = n
<=>A的顺序主子式都大于0
实对称矩阵A半正定
<=>A合同于分块矩阵(Er,O; O,O) , r<n
<=>A的特征值都大于等于0, 且至少有一个特征值等于0
<=>X'AX的正惯性指数 p < n.

Q4：二次型化为标准形有哪些方法啊？？麻烦举例说明下！！有两种方法：正交变换和配方法正交变换，求出A的所有特征值和特征向量将特征向量单位正交化由这些特征向量组成的矩阵Q就可以将A对角化，二次型就化为标准型了配方法，就按照完全平方公式配方。
任何非零的n维二次形式定义在投影空间中一个 (n-2)维的投影空间。有序对（V,q），这里的V是在域k上的向量空间，而q：V→k是在V上的二次形式。
扩展资料：
双线性形式B的核由正交于V的所有元素组成，而二次形式Q的核由B的核中的有Q(u)=0的所有元素u组成。如果2是可逆的，则Q和它的相伴双线性形式B有同样的核。