二次型化为标准型 二次型化为标准型配方法( 二 )
双线性形式B被称为非奇异的，如果它的核是0；二次形式Q被称为非奇异的，如果它的核是0 。
Q5：为什么二次型一定可以化为标准型？记住n阶方阵化为标准型
就需要有n个特征向量才行
而因为对于二次型来说
一定都是对称矩阵
n阶对称矩阵
一定都可以找到n个特征向量
所以任一对称阵都合同于对角阵
于是就可以化为标准型
Q6：二次型化为标准型的步骤 。1、含平方项的情形
用配方法化二次型f(x1,X2,X3)=X1^2-2X2^2-2X3^2-4X1X2+12X2X3为标准形
解: f=x1^2-2x2^2-2x3^2-4x1x2+12x2x3
--把含x1的集中在第一个平方项中, 后面多退少补
= (x1-2x2)^2 -6x2^2-2x3^2+12x2x3
--然后同样处理含x2的项
= (x1-2x2)^2 -6(x2-x3)^2+4x3^2
2、不含平方项的情形
比如 f(x1,x2,x3) = x1x2+x2x3
令 x1=y1+y2, x2=y1-y2
代入后就有了平方项, 继续按第一种情形处理
3、特征值方法
写出二次型的矩阵
求出矩阵的特征值
求出相应的特征向量
矩阵半正定和正定判定：
实对称矩阵A正定
<=>A合同于单位矩阵
<=>A的特征值都大于0
<=>X'AX的正惯性指数 = n
<=>A的顺序主子式都大于0
实对称矩阵A半正定
<=>A合同于分块矩阵(Er,O; O,O) , r<n
<=>A的特征值都大于等于0, 且至少有一个特征值等于0
<=>X'AX的正惯性指数 p < n.
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