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素数的魅力 什么是素数


素数的魅力 什么是素数

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什么是质数(质数的魅力)
这些密不可分的质数仍然显示出新的数学奥秘 。
2018年3月20日，挪威科学与文学研究院宣布将阿贝尔奖授予加拿大裔美国数学家罗伯特·朗兰兹(Robert Langlands)，以表彰他在数学领域的终身成就 。他最终以自己的名字命名的数学理论Langlands program，通过与素数的共同联系，将几何、代数、分析等概念结合在一起，在数学的众多分支之间架起了一座“桥梁” 。
罗伯特·朗兰兹，著名的朗兰兹计划的作者 。1999年，他获得了沃尔夫奖 。2007年，他获得了数学科学邵氏奖 。2018年获得阿贝尔奖 。
届时，挪威国王将为朗兰兹颁奖，向这一最新科研成果致敬 。质数可以说是数学领域最大最古老的数据集，数学家们经过2300年的努力，一直在不断探索它的奥秘 。那么是什么吸引了无数优秀的数学家千百年来致力于素数的研究呢？
寻找素数的过程为了研究质数，数学家通过质数筛选算法传递正整数，直到只剩下质数 。在19世纪，通过试除法获得百万以内的素数列表 。当然，现代计算机可以在不到一秒的时间内找到数十亿以内的质数，但所使用的筛选方法的核心思想2000年来从未改变 。
公元前300年，亚历山大的数学家欧几里德描述道:“质数是只能被1计数的数 。”这意味着一个质数不能被任何比它小的数整除，除了1 。而且为了保证整数分解的唯一性，数学家也不把1当成素数 。此外，欧几里德还证明了素数的个数是无穷的、取之不尽的 。
公元前200年左右，古希腊数学家厄拉多塞提出了素数快速筛选法，这是一种简单而古老的在一定范围内找出所有素数的筛选方法 。
在2~100范围内，经过2，3，5，7筛选后剩下的所有素数
厄拉多塞素数筛选法的思路是:首先，留下2，划掉2的所有倍数；2后面第一个没划掉的数是3，留3，划掉所有3的倍数；然后留下5，划掉所有5的倍数；再留一个7，划掉所有7的倍数 。这样，依次筛选出最小的四个素数的倍数——2、3、5、7 。此时，下一个未过滤的11的平方已经大于100，所以停止 。这样2到100之间的整数只过滤四次，最后只剩下质数集 。
从1到100的数字中筛出2、3、5和7的倍数，留下质数 。通过8个筛选步骤，400以内的质数都可以分离出来 。通过168次筛选，可以分离出信息资源网络中100万以内的所有素数 。这就是埃利希方法的长处 。
将素数列表的早期代表是英国数学家约翰·佩尔，他致力于将有用的数字列表 。其研究动机来自于对古希腊数学家丢番图提出的古代算术问题的研究热情，以及个人对数学真理系统性整合的追求 。由于他的不懈努力，10万以内的质数在18世纪初被广泛传播 。到1800年，各种独立的研究项目列出了所有一百万以内的质数 。
从左至右，1611-1685年英国数学家约翰·佩尔，1741-1808年德国数学家卡尔·弗里德里希·兴登堡，1793-1863年奥地利数学家雅各布·菲利普·库利克 。
为了自动化这项繁琐的筛选工作，德国数学家卡尔·弗里德里希·兴登堡(Carl Friedrich Hindenburg)使用了一个可调滑块，它可以一次性排除整篇论文的所有倍数 。另一种技术含量低但有效的方法是使用模板来定位特定素数的倍数 。到19世纪中叶，数学家雅各布·库利克发起了一个雄心勃勃的项目:找出1亿以内的所有素数 。但是直到库利克去世，这项工作还没有完成，但是已经找到的素数填满了4212页的表格 。
如果数学王子卡尔·弗里德里希·高斯(Carl Friedrich Gauss)没有决定对素数本身进行分析和整理，那么这样一组“大数据”在19世纪的结果可能只会被用作素数的参考表 。
17世纪，对数表的诞生极大地促进了天文学和航海的蓬勃发展 。作为高斯生日的对数参考书，附上300万以内的素数列表 。这张在别人看来毫无用处的单子，却引起了他的浓厚兴趣 。他开始从事数据分析和统计工作 。
他每次以1000为一组来计算这个范围内的质数 。先数1000以内的质数个数，再数1001到2000之间的，再数2001到3000之间的，以此类推 。高斯开始研究这个别人不感兴趣的质数表 。
高斯发现，随着数值的增加，素数出现的频率会逐渐减少，遵循“反数”定律 。高斯的素数分布定理虽然没有计算出素数个数的确切值，但是他给出了一个非常好的近似值 。比如根据素数定理，预测1000000到1001000之间有72个素数，但正确结果是75个，误差在4%左右 。这让他提出了一个猜想:不大于x的素数的个数在哪里，也就是说，当x趋近于无穷大时，以下公式成立:


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