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回溯算法：组合问题如何剪枝？

回溯算法

在回溯算法：求组合问题！中，我们通过回溯搜索法，解决了n个数中求k个数的组合问题 。
【回溯算法：组合问题如何剪枝？】文中的回溯法是可以剪枝优化的，本篇我们继续来看一下题目77. 组合 。
链接：https://leetcode-cn.com/problems/combinations/
「看本篇之前，需要先看回溯算法：求组合问题！」 。
大家先回忆一下[77. 组合]给出的回溯法的代码：
class Solution {private:    vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合    vector<int> path; // 用来存放符合条件结果    void backtracking(int n, int k, int startIndex) {        if (path.size() == k) {            result.push_back(path);            return;        }        for (int i = startIndex; i <= n; i++) {            path.push_back(i); // 处理节点             backtracking(n, k, i + 1); // 递归            path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点        }    }public:    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {        result.clear(); // 可以不写        path.clear();   // 可以不写        backtracking(n, k, 1);        return result;    }};剪枝优化我们说过，回溯法虽然是暴力搜索，但也有时候可以有点剪枝优化一下的 。
在遍历的过程中有如下代码：
for (int i = startIndex; i <= n; i++) {     path.push_back(i);     backtracking(n, k, i + 1);     path.pop_back(); }这个遍历的范围是可以剪枝优化的，怎么优化呢？
来举一个例子，n = 4，k = 4的话，那么第一层for循环的时候，从元素2开始的遍历都没有意义了 。在第二层for循环，从元素3开始的遍历都没有意义了 。
这么说有点抽象，如图所示：

回溯算法：组合问题如何剪枝？

文章插图
 
图中每一个节点（图中为矩形），就代表本层的一个for循环，那么每一层的for循环从第二个数开始遍历的话，都没有意义，都是无效遍历 。
「所以，可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置」 。
「如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了」 。
注意代码中i，就是for循环里选择的起始位置 。
for (int i = startIndex; i <= n; i++) { 接下来看一下优化过程如下：
  1. 已经选择的元素个数：path.size();
  2. 还需要的元素个数为: k - path.size();
  3. 在集合n中至少要从该起始位置 : n - (k - path.size()) + 1，开始遍历
为什么有个+1呢，因为包括起始位置，我们要是一个左闭的集合 。
举个例子，n = 4，k = 3，目前已经选取的元素为0（path.size为0），n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2 。
从2开始搜索都是合理的，可以是组合[2, 3, 4] 。
这里大家想不懂的话，建议也举一个例子，就知道是不是要+1了 。
所以优化之后的for循环是：
for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) // i为本次搜索的起始位置优化后整体代码如下：
class Solution {private:    vector<vector<int>> result;     vector<int> path;    void backtracking(int n, int k, int startIndex) {        if (path.size() == k) {            result.push_back(path);            return;        }        for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) { // 优化的地方            path.push_back(i); // 处理节点             backtracking(n, k, i + 1);            path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点        }    }public:    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {        backtracking(n, k, 1);        return result;    }};


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