彻底理解红黑树( 四 )


二叉树删除结点找替代结点有3种情情景:

  • 情景1:若删除结点无子结点,直接删除
  • 情景2:若删除结点只有一个子结点,用子结点替换删除结点
  • 情景3:若删除结点有两个子结点,用后继结点(大于删除结点的最小结点)替换删除结点
补充说明下,情景3的后继结点是大于删除结点的最小结点,也是删除结点的右子树种最右结点 。那么可以拿前继结点(删除结点的左子树最左结点)替代吗?可以的 。但习惯上大多都是拿后继结点来替代,后文的讲解也是用后继结点来替代 。另外告诉大家一种找前继和后继结点的直观的方法(不知为何没人提过,大家都知道?):把二叉树所有结点投射在X轴上,所有结点都是从左到右排好序的,所有目标结点的前后结点就是对应前继和后继结点 。如图16所示 。
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图16 二叉树投射x轴后有序
接下来,讲一个重要的思路:删除结点被替代后,在不考虑结点的键值的情况下,对于树来说,可以认为删除的是替代结点!话很苍白,我们看图17 。在不看键值对的情况下,图17的红黑树最终结果是删除了Q所在位置的结点!这种思路非常重要,大大简化了后文讲解红黑树删除的情景!
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图17 删除结点换位思路
基于此,上面所说的3种二叉树的删除情景可以相互转换并且最终都是转换为情景1!
  • 情景2:删除结点用其唯一的子结点替换,子结点替换为删除结点后,可以认为删除的是子结点,若子结点又有两个子结点,那么相当于转换为情景3,一直自顶向下转换,总是能转换为情景1 。(对于红黑树来说,根据性质5.1,只存在一个子结点的结点肯定在树末了)
  • 情景3:删除结点用后继结点(肯定不存在左结点),如果后继结点有右子结点,那么相当于转换为情景2,否则转为为情景1 。
二叉树删除结点情景关系图如图18所示 。
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图18 二叉树删除情景转换
综上所述,删除操作删除的结点可以看作删除替代结点,而替代结点最后总是在树末 。有了这结论,我们讨论的删除红黑树的情景就少了很多,因为我们只考虑删除树末结点的情景了 。
同样的,我们也是先来总体看下删除操作的所有情景,如图19所示 。
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图19 红黑树删除情景
哈哈,是的,即使简化了还是有9种情景!但跟插入操作一样,存在左右对称的情景,只是方向变了,没有本质区别 。同样的,我们还是来约定下,如图20所示 。
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图20 删除操作结点的叫法约定
图20的字母并不代表结点Key的大小 。R表示替代结点,P表示替代结点的父结点,S表示替代结点的兄弟结点,SL表示兄弟结点的左子结点,SR表示兄弟结点的右子结点 。灰色结点表示它可以是红色也可以是黑色 。
值得特别提醒的是,R是即将被替换到删除结点的位置的替代结点,在删除前,它还在原来所在位置参与树的子平衡,平衡后再替换到删除结点的位置,才算删除完成 。
万事具备,我们进入最后的也是最难的讲解 。
删除情景1:替换结点是红色结点我们把替换结点换到了删除结点的位置时,由于替换结点时红色,删除也了不会影响红黑树的平衡,只要把替换结点的颜色设为删除的结点的颜色即可重新平衡 。
处理:颜色变为删除结点的颜色
删除情景2:替换结点是黑结点当替换结点是黑色时,我们就不得不进行自平衡处理了 。我们必须还得考虑替换结点是其父结点的左子结点还是右子结点,来做不同的旋转操作,使树重新平衡 。
删除情景2.1:替换结点是其父结点的左子结点
删除情景2.1.1:替换结点的兄弟结点是红结点
 
若兄弟结点是红结点,那么根据性质4,兄弟结点的父结点和子结点肯定为黑色,不会有其他子情景,我们按图21处理,得到删除情景2.1.2.3(后续讲解,这里先记住,此时R仍然是替代结点,它的新的兄弟结点SL和兄弟结点的子结点都是黑色) 。
 
处理: