处理:
- 将P和S设置为黑色
- 将PP设置为红色
- 把PP设置为当前插入结点
文章插图
图9 插入情景4.1_1
文章插图
图10 插入情景4.1_2
可以看到,我们把PP结点设为红色了,如果PP的父结点是黑色,那么无需再做任何处理;但如果PP的父结点是红色,根据性质4,此时红黑树已不平衡了,所以还需要把PP当作新的插入结点,继续做插入操作自平衡处理,直到平衡为止 。
试想下PP刚好为根结点时,那么根据性质2,我们必须把PP重新设为黑色,那么树的红黑结构变为:黑黑红 。换句话说,从根结点到叶子结点的路径中,黑色结点增加了 。这也是唯一一种会增加红黑树黑色结点层数的插入情景 。
我们还可以总结出另外一个经验:红黑树的生长是自底向上的 。这点不同于普通的二叉查找树,普通的二叉查找树的生长是自顶向下的 。
插入情景4.2:叔叔结点不存在或为黑结点,并且插入结点的父亲结点是祖父结点的左子结点
单纯从插入前来看,也即不算情景4.1自底向上处理时的情况,叔叔结点非红即为叶子结点(Nil) 。因为如果叔叔结点为黑结点,而父结点为红结点,那么叔叔结点所在的子树的黑色结点就比父结点所在子树的多了,这不满足红黑树的性质5 。后续情景同样如此,不再多做说明了 。
前文说了,需要旋转操作时,肯定一边子树的结点多了或少了,需要租或借给另一边 。插入显然是多的情况,那么把多的结点租给另一边子树就可以了 。
插入情景4.2.1:插入结点是其父结点的左子结点
处理:
- 将P设为黑色
- 将PP设为红色
- 对PP进行右旋
文章插图
图11 插入情景4.2.1
由图11可得,左边两个红结点,右边不存在,那么一边一个刚刚好,并且因为为红色,肯定不会破坏树的平衡 。
咦,可以把PP设为红色,I和P设为黑色吗?答案是可以!看过《算法:第4版》的同学可能知道,书中讲解的就是把PP设为红色,I和P设为黑色 。但把PP设为红色,显然又会出现情景4.1的情况,需要自底向上处理,做多了无谓的操作,既然能自己消化就不要麻烦祖辈们啦~
插入情景4.2.2:插入结点是其父结点的右子结点
这种情景显然可以转换为情景4.2.1,如图12所示,不做过多说明了 。
处理:
- 对P进行左旋
- 把P设置为插入结点,得到情景4.2.1
- 进行情景4.2.1的处理
文章插图
图12 插入情景4.2.2
插入情景4.3:叔叔结点不存在或为黑结点,并且插入结点的父亲结点是祖父结点的右子结点
该情景对应情景4.2,只是方向反转,不做过多说明了,直接看图 。
插入情景4.3.1:插入结点是其父结点的右子结点
处理:
- 将P设为黑色
- 将PP设为红色
- 对PP进行左旋
文章插图
图13 插入情景4.3.1
插入情景4.3.2:插入结点是其父结点的右子结点
处理:
- 对P进行右旋
- 把P设置为插入结点,得到情景4.3.1
- 进行情景4.3.1的处理
文章插图
图14 插入情景4.3.2
好了,讲完插入的所有情景了 。可能又同学会想:上面的情景举例的都是第一次插入而不包含自底向上处理的情况,那么上面所说的情景都适合自底向上的情况吗?答案是肯定的 。理由很简单,但每棵子树都能自平衡,那么整棵树最终总是平衡的 。好吧,在出个习题,请大家拿出笔和纸画下试试(请务必动手画下,加深印象):
习题1:请画出图15的插入自平衡处理过程 。(答案见文末)
文章插图
图15 习题1
四、红黑树删除
红黑树插入已经够复杂了,但删除更复杂,也是红黑树最复杂的操作了 。但稳住,胜利的曙光就在前面了!
红黑树的删除操作也包括两部分工作:一查找目标结点;而删除后自平衡 。查找目标结点显然可以复用查找操作,当不存在目标结点时,忽略本次操作;当存在目标结点时,删除后就得做自平衡处理了 。删除了结点后我们还需要找结点来替代删除结点的位置,不然子树跟父辈结点断开了,除非删除结点刚好没子结点,那么就不需要替代 。
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