无理数的哲学意义
——一个基于柏拉图和胡塞尔思想路径的发现
方向红
一
众所周知，无理数是指与有理数没有可共度比的数。M. 克莱因（Morris Kline）在《古今数学思想》中认为，在毕达哥拉斯学派发现这种奇特的数之后，离散与连续的关系便成了希腊数学家亟待解决的问题[1]。随后，优多克苏斯（Eudoxus，公元前408-355）引入变量和比例试图回答这一难题，而欧几里得则几乎重起炉灶，以与毕达哥拉斯学派完全不同的思路，通过从公设、公理和定义出发进行演绎和证明的方式重建几何学，以回应数学史上的这次危机。但是，危机并没有因此得以克服。克莱因本人对此也禁不住表达了自己的惊讶：“数学史上最使人惊讶的事实之一，是实数系的逻辑基础竟迟至十九世纪后叶才建立起来”[2]。然而，问题在于，这种在两千多年之后建立起来的逻辑基础真的坚固可靠吗？只要想想二十世纪以来的罗素悖论以及哥德尔不完备性定理，我们就有理由怀疑这位作者的乐观的结论。实际上，他在该书中介绍了戴德金分割和康托尔基本序列之后也不由地感叹到，“逻辑地定义出来的无理数，是一个智慧的怪物”[3]。
从离散到连续，从连续统到稠密性，从数到量，从算术到几何，从无限到极限，从数学到逻辑，这些大致可以算作无理数所引发的数学意义。可这个意义序列无法解释，为什么希腊人远远早于其他民族将计数的数字与被计数的对象分离开来，从而抽象地对数本身进行思考[4]；这个序列也无法解释，散见于希腊数学家中的演绎证明方式如何在欧几里得那里汇聚为规范化的公理演绎系统并得到当时和后世的数学家们的广泛推崇和自觉遵守，——毕竟，在生活实践中，这种坚守并无多大意义，M.克莱因自己似乎也持这样的论点：“把2?3当做矩形面积来设想，这在逻辑上可能是足够令人满意的，但若为了想买地板漆布而需要知道乘积究竟等于多少，你就得不出结果”[5]。
下文将从柏拉图和胡塞尔的数学思考尤其是对无理数的反思出发，分别介绍无理数的发现对于他们的哲学思想的提出或转变的意义，以期寻找出在更为普遍的意义上无理数的发现的哲学意义和价值。
二
文章插图
在《智者篇》中，“客人”以一种“令人困惑”、“令人晕头转向”的方式证明，影像一方面是不真实的，因为它毕竟不是对象本身，仅仅是与真实的对象“相同”或“显得相同”，可另一方面，我们完全可以说，影像确实（真实地）是影像。显然，影像既具有是（存在）的特性，又具有不是（非存在）的特性；通常，数字只能加在一个现实存在的存在者的前面，可是，当我们说“这一个不存在的东西”时，我们不是把一附加到非存在者之上了吗？“某些不存在的东西”这种表述难道不是让多附着于非是者之上了吗？由于非存在者已经获得了一定程度的存在性，因此，一个不存在的对象具有数量上的规定便是可以理解的了。三角形直角的两条边是有形之物，只有那些“用力握着石头和木头并肯定真正的存在只属于那些坚挺的、可以用手把握和触摸的事物”的“巨人”才会认为有形体者是真正的存在者。而他们的对手则可以轻易地将这种存在解释为运动和变易过程从而驳倒他们的观点。“客人”则通过力量与真实事物之间的关联正面证明了无形之物的存在性。这种存在性，在柏拉图看来，同样具有某种程度的非存在特性。“巨人”的对手从运动变化出发打碎有形之物的存在性，这一点也可以反过来攻击他们自己。无论是灵魂还是理智，在它们对真实事物进行认知时，它们一定会影响到真实事物，使真实事物发生变化，这不恰恰让真实事物的存在性处于消逝之中吗？[12]
至此为止，受到无理数引发的柏拉图的反思已带来了一系列的成果，如数与计数对象的分离；有形对象或通常认为的存在者首先是非存在者，但同时也具有一定程度的存在性；与之相反，无形对象或通常所谓的非存在者首先是真实的存在者，尽管也具有某种程度的非存在性。当然，这些思想成就不可能凭柏拉图一己之力所能完成。爱利亚派和智者派都对毕达哥拉斯学派的难题作过研究，他们分别沿着一和多、静止和运动、存在与非存在的某些方面或维度对宇宙论和存在论作了新的思考且取得了丰硕的理论成果。柏拉图在对话中充分利用了两派的思想，这从上文的介绍中可见一斑。但是，柏拉图对这两派的思想进行批评和决断，明确地提出可见世界和不可见世界、可感世界和可知世界、意见和真理相互区别的“分离学说”[13]，无理数及其引发的难题在他整个思想进程中起着决定性的作用。在这个意义上，我们可以同意柏拉图的说法，即，数字可以引起灵魂转向[14]，甚至更进一步断言，无理数可以引起灵魂转向。
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