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如何证明勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理教学视频( 四 )

生活经验勾股定理


∵ ΔFAB的面积等于，
ΔGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半 ， 
∴ 矩形ADLM的面积 =.
同理可证，矩形MLEB的面积 =.
∵ 正方形ADEB的面积
= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
∴ 即a的平方+b的平方=c的平方
证法7
已知在△ABC中，a2+b2=c2，求证∠C=90°
证明：作AH⊥BC于H
⑴若∠C为锐角 ， 设BH=y,AH=x
得x2+y2=c2，
又∵a2+b2=c2 ， 
∴a2+b2=x2+y2（A）
但a>y,b>x ， ∴a2+b2>x2+y2（B)
（A）与（B）矛盾，∴∠C不为锐角
⑵若∠C为钝角，设HC=y,AH=x
得a2+b2=c2=x2+（a+y）2=x2+y2+2ay+a2
∵x2+y2=b2，
得a2+b2=a2+b2+2ay
2ay=0
∵a≠0，∴y=0
这与∠C是钝角相矛盾，∴∠C不为钝角
综上所述，∠C必为直角在△ABC中，a2+b2=c2，求证∠C=90°
证明：作AH⊥BC于H
⑴若∠C为锐角，设BH=y,AH=x
得x2+y2=c2 ， 
又∵a2+b2=c2 ， 
∴a2+b2=x2+y2（A）
但a>y,b>x，∴a2+b2>x2+y2（B)
（A）与（B）矛盾，∴∠C不为锐角
⑵若∠C为钝角 ， 设HC=y,AH=x
得a2+b2=c2=x2+（a+y）2=x2+y2+2ay+a2
∵x2+y2=b2，
得a2+b2=a2+b2+2ay
2ay=0
∵a≠0 ， ∴y=0
这与∠C是钝角相矛盾 ， ∴∠C不为钝角
综上所述，∠C必为直角
其他证明
这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的 。路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition（《毕达哥拉斯命题》）一书中总共提到367种证明方式 。有人会尝试以三角恒等式（例如：正弦和余弦函数的泰勒级数）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理 ， 所以不能作为勾股定理的证明（参见循环论证） 。
证法1
作四个全等的直角三角形 ， 设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形 ， 使D、E、F在一条直线上 。过点C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌ RtΔEBD，∴ ∠EGF = ∠BED，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG是一个边长为c的正方形 。∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD， ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即 ∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形 。同理 ， HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 A2+B2=C2
证法2
作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形 。把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ ， 垂足为N. ∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，∴ ∠MPC = 90°，∵ BM⊥PQ，∴ ∠BMP = 90°，∴ BCPM是一个矩形 ， 即∠MBC = 90° 。∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°， ∴ ∠QBM = ∠ABC，又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即A2+B2=C2
证法3
作两个全等的直角三角形 ， 设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形 。把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG ，  ∵EF=DF-DE=b-a，EI=b ，  ∴FI=a，∴G,I,J在同一直线上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB = ∠CFD = 90° ，  ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ， 同理，RtΔABG ≌ RtΔADE ，  ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE ∴∠ABG = ∠BCJ，∵∠BCJ +∠CBJ= 90° ，  ∴∠ABG +∠CBJ= 90° ， ∵∠ABC= 90°，∴G,B,I,J在同一直线上 ，  A2+B2=C2 。
证法4
作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过C作CL⊥DE ，  交AB于点M，交DE于点L. ∵ AF = AC ， AB = AD ，  ∠FAB = ∠GAD，∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ，  ∵ ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半 ，  ∴ 矩形ADLM的面积 =. 同理可证，矩形MLEB的面积 =. ∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ∴ 即A2+B2=C2
证法5
《几何原本》中的证明 在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立 。设△ABC为一直角三角形 ， 其中A为直角 。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形 。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等 。在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等 。（SAS定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半 。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积 。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3） 。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形 ， 再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形 。其证明如下：设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB 。其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH 。画出过点A之BD、CE的平行线 。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L 。分别连接CF、AD ， 形成两个三角形BCF、BDA 。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H 。∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC 。因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC 。因为 A 与 K 和 L是线性对应的 ， 所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD 。因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC 。因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB²； 。同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC2； 。把这两个结果相加，AB2;+ AC2;; = BD×BK + KL×KC 。由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB2;+ AC2;= BC2； 。此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的 。


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