江苏龙网

  1. 主页 > 生活百科 > >

如何证明勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理教学视频( 三 )

生活经验勾股定理


又∵AB=2BC=2r
∴AB是直径
∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角)
应用举例
直角三角形如图1，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点
立柱为BC ， DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，求BC、DE要多长？
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°
证明勾股定理的逆定理运用了什么方法勾股定理的逆定理是判断三角形为钝角、锐角或直角的一个简单的方法，其中AB=c为最长边 。
证明方法
勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或直角的一个简单的方法
其中c为最长边: 如果a×a+b×b=c×c，则△ABC是直角三角形 。如果a×a+b×b＞c×c，则△ABC是锐角三角形 。如果a×a+b×b＜c×c，则△ABC是钝角三角形 。
勾股定理逆定理的证明: 1、反证法 令角C不是直角 ，  则a^2+b^2=c^2不成立 ，  所以矛盾 ，  所以角C是直角 。
2、勾股定理逆定理 如果三角形的三边长a、b、c满足条件a^2+b^2=c^2，那么C边所对的角是直角 。3、三角函数Cos90 如图:已知AB^2+BC^2=AC^2，而任一三角形的边之间均满足， AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BA*COSB ， 比较两式得 ， COSB=0 ，
B=90度 。
已知△ABC的三边AB=c，BC=a，CA=b，且满足a^2+b^2=c^2，证明∠C=90° 。
证法1：同一法 。
证法的思路是做一个直角三角形，然后证明它和已知三角形全等，从而已知三角形也是直角三角形 。
构造一个直角三角形A'B'C'，使∠C'=90°，a'=a，b'=b 。
那么 ， 根据勾股定理 ， c'^2=a'^2+b'^2=a^2+b^2=c^2，从而c'=c 。
在△ABC和△A'B'C'中，
a=a'b=b'c=c'∴△ABC≌△A'B'C' 。
因而，∠C=∠C'=90° 。（证毕）
证法2：余弦定理 。
由于余弦定理是由勾股定理推出的，故可以用来证明其逆定理而不算循环论证 。
根据余弦定理，在△ABC中，cosC=(a^2+b^2-c^2）/2ab 。
由于a^2+b^2=c^2 ， 故cosC=0；又因为C小于平角 ， 从而C=90° 。（证毕）
证法3：相似三角形 。
证法的思路是将已知三角形分割成两块，然后证明它们互补的两角相等，从而这两角都是直角 。
在AB边上截取点D使∠DCB=∠A 。
在△CDB与△ACB中，∠B=∠B，∠DCB=∠A ， ∴△CDB∽△ACB（两角对应相等）∴BC/BA=BD/BC ， 从而BD=a^2/c 。又由CD/AC=CB/AB知 ， CD=ab/c 。
另一方面 ， AD=AB-BD=c-a^2/c=b^2/c（因为c^2=a^2+b^2） ， 
在△ACD与△CBD中 ， 
DC/AD=(ab/c) / (b^2/c)=a/b,
BC/AC=a/b,
BD/CD=(a^2/c) / (ab/c)=a/b,
∴△ACD∽△CBD（三边对应成比例） 。
∴∠BDC=∠CDA 。
而∠BDC+∠CDA=180°，故∠BDC=∠CDA=90° 。
由于∠ACB=∠CDB，所以∠ACB90° 。（证毕）
要进行实际应用，那样就事半功倍
证法4
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.
∵ D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
∴ ∠EGF = ∠BED，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BED + ∠GEF = 90° ， 
∴ ∠BEG =180°―90°= 90°
又∵ AB = BE = EG = GA = c ， 
∴ ABEG是一个边长为c的正方形.
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°
即 ∠CBD= 90°
又∵ ∠BDE = 90° ， ∠BCP = 90° ， 
BC = BD = a.
∴ BDPC是一个边长为a的正方形.
同理 ， HPFG是一个边长为b的正方形.
证法5
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.
分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，
∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，
∴FI=a ， 
∴G,I,J在同一直线上，
∵CJ=CF=a，CB=CD=c，
∠CJB = ∠CFD = 90°，
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD  ， 
同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
∴∠ABG = ∠BCJ,
∵∠BCJ +∠CBJ= 90°，
∴∠ABG +∠CBJ= 90° ， 
∵∠ABC= 90°，
∴G,B,I,J在同一直线上，
证法6
做三个边长分别为a、b、c的正方形 ， 把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结
BF、CD. 过C作CL⊥DE，
交AB于点M，交DE于点L.
∵ AF = AC，AB = AD ， 
∠FAB = ∠GAD，
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，


推荐阅读


上一篇：个人征信逾期对考公务员有影响

下一篇：我国古代天文学中的著名人物和代表书籍