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如何证明勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理教学视频( 二 )

生活经验勾股定理


2判定定理
等腰直角三角形是一种特殊的三角形
等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：具有稳定性、内角和为180° 。两 直角边相等 ， 两锐角为45° ， 斜边上 中线、 角平分线、 垂线三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为此三角形外接圆的半径R 。
3特殊性质
它除了具有一般三角形的性质外 ， 具有一些特殊的性质 ：
性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（ 勾股定理)
性质2:在直角三角形中，两个锐角互余 。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点 ，  外接圆半径R=C/2） 。该性质称为 直角三角形斜边中线定理 。
性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积 。
性质5:如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有 射影定理如下：直角三角形
（1）（AD)2=BD·DC 。
（2）（AB)2=BD·BC 。
（3）（AC)2=CD·BC 。
射影定理，又称“ 欧几里德定理”：在 直角三角形中，斜边上的高是两条 直角边在斜边射影的比例中项，每一条 直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的 比例中项 。是 数学图形计算的重要定理 。
性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30° ， 那么它所对的直角边等于斜边的一半 。
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30° 。
证明方法多种，下面采取较简单的几何证法 。
先证明定理的前半部分，Rt△ABC中 ， ∠ACB=90° ， ∠A=30°，那么BC=AB/2
∵∠A=30°
∴∠B=60°（直角三角形两锐角互余）
取AB中点D，连接CD，根据 直角三角形斜边中线定理可知CD=BD
∴△BCD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
【如何证明勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理教学视频】∴BC=BD=AB/2
再证明定理的后半部分 ， Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AB/2，那么∠A=30°
取AB中点D ， 连接CD,那么CD=BD=AB/2（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
又∵BC=AB/2
∴BC=CD=BD
∴∠B=60°
∴∠A=30°
性质7:如图，在Rt△ABC中∠BAC=90° ， AD是斜边上的高，则：
证明：S△ABC=1/2*AB*AC=1/2*AD*BC
两边乘以2，再平方得AB2*AC2=AD2*BC2
运用勾股定理 ， 再两边除以
,最终化简即得
性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 。
4判定方法
判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形 。
判定2：若
，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形（ 勾股定理的逆定理） 。
判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为 斜边的直角三角形 。
判定4：两个锐角 互为余角（两角相加等于 90°）的三角形是直角三角形 。
判定5：若两直线相交且它们的 斜率之积互为 负倒数 ， 则两直线互相垂直 。那么这个三角形为直角三角形 。
判定6：若在一个三角形中一边上的 中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形 。参考 直角三角形斜边中线定理
判定7：一个三角形 30°角所对的边等于某一邻边的一半，则这个三角形为直角三角形 。
判定3和7的证明：
已知△ABC中 ， ∠A=30°，∠A，∠C对的边分别为a，c ， 且a=
c 。求证∠C=90°
证法1：
正弦定理，在△ABC中，有a:sinA=c:sinC
将a与c的关系及∠A的度数代入之后化简得sinC=1
又∵0<∠C<180°
∴∠C=90°
证法2
反证法 ， 假设∠ACB≠90°，过B作BD⊥AC于D
在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠A=30°
∴BD=
AB（30°的直角边等于斜边的一半）
又∵BC
AB
∴BC=BD
但BD是B到直线AC的垂线段，根据垂线段最短可知BD
（或从BC=BD得∠BCD=∠BDC=90°，那么△BCD中就有两个直角，这是不可能的事情）
∴假设不成立 ， ∠ACB=90°
证法3
利用三角形的外接圆证明
作△ABC的外接圆 ， 设圆心为O ， 连接OC,OB
∵∠BAC=30°，A在圆上
∴∠BOC=60°
∵OB=OC=半径r
∴△BOC是等边三角形,BC=OC=r


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