互素是什么意思(互素但不两两互素的四个整数)
除数不满足“成对素数”条件时“物不知数”问题初探
2019年8月25日星期日
本文遵循上一篇文章:
——《用现代数学方法解决古代“事不知数”的问题》
——“折腾除法”将两个数的最大公因数表示为两个数的线性组合
——《物不知其数》完整例句及加强版
让我们先来看一个我“设计”的例子:
一元线性同余方程a:
X≡17(mod 28)公式①
X≡3(mod 21)公式②
X≡39(mod 45)公式③
X≡9(mod 30)公式④
恢复到古代的标题是:
"
今天有些事情，但我不知道它们的数量 。
二十八，二十八算，剩十七；
二十一，二十一个数，还剩三个；
四十五，四十五计，剩三十九；
三十，三十数，还剩九 。
问:事物的几何？
"
在本例中:
m1=28、m2=21、m3=45、m4 = 30
b1=17、b2=3、b3=39、B4 = 9；
(m1，m2)=(28，21)=7
(m1，m4)=(28，30)=2
(m2，m3)=(21，45)=3
(m2，m4)=(21，30)=3
(m3，m4)=(45，30)=15
即除数(或“模”)不满足“两两互质”的条件 。
疯狂(本文图片均来自网络)
下面将通过这个例子初步探讨除数不满足“两两互质”条件的“未知数问题”的特点和解决方法 。“未知数问题”的数学本质是如何解“一元线性同余方程组” 。本文在整数范围内讨论所有变量，为便于理解，优选非负例 。
一、任意给定的一元一次同余方程组是否有解（或解集是否为空）的判断给定的一元线性同余方程组不一定有解，例如:
一元线性同余方程b:
X≡1(mod 2)公式①
X≡2(mod 4)公式②
可以从B①中得到:x = 2k+1，即x是奇数；但是可以从b 2得到:x = 4k+2，显然x是偶数；两者矛盾，同余方程组B无解 。
这是一个极其简单的例子，旨在说明对于任何给定的一元一次同余方程，第一目标不是解方程，而是判断方程是否有解 。
一般的一维同余方程如下:
X≡b1(mod m1)公式①
X≡b2(mod m2)公式②
和(m1，m2) = d 。
我们来举一些小道理:
顺序:m1 = dk1，m2 = dk2
因为:
x≡B1(mod m1)→x-B1 = m1 Q1→x = m1 Q1+B1
x≡B2(mod m2)→x-B2 = m2q 2→x = m2q 2+B2
(注意:两个全等数之差必须是模数的倍数)
所以:
m1q1+b1=m2q2+b2
→dk1q1+b1=dk2q2+b2
→d(k1q1-k2q2)=b2-b1
→d|(b2-b1)
这个结论说白了就是:只有两个除数(或模)的最大公因数除以两个余数(或方程中常数项)的差，一元线性同余方程组才有解 。这也是文章开头的方程组A被称为“设计”的原因 。在方程式组A中，有:
(m1，m2)|(b2-b1)=(28，21)|(3-17)=7|(-14)
(m1，m4)|(b4-b1)=(28，30)|(9-17)=2|(-8)
(m2，m3)|(b3-b2)=(21，45)|(39-3)=3|36
(m2，m4)|(b4-b2)=(21，30)|(9-3)=3|6
(m3，m4)|(b4-b3)=(45，30)|(9-39)=15|(-30)
所以一元一次同余方程组A一定有解 。
别担心 。
二、模不满足“两两互素”且解集不为空的一元一次同余方程组的求解办法核心思想是将模不满足“两两互质”条件的一元线性同余方程组转化为模满足“两两互质”条件的等价方程组 。关键是实现等价转换 。什么是“对等”？方程的形式变了，但解集不能变！
示例:
x≡1(mod 15)的解集为:x1 = {1，16，31，46，61，76，91 …}
x≡1(mod 3)的解集为:x2 = {1，4，7，10，13，16，19 …}
x≡1(mod 5)的解集为:x3 = {1，6，11，16，21，26，31 …}
观察发现X1 = X2 ∩ X3，即解集X1是解集X2和X3的交集，模的关系为:15 = 3× 5 。
通常，如果:
X≡b(mod m)，且m = m1m2，m1≠m2
然后:
同余方程x≡b(mod m)等价于以下同余方程:
x≡b(mod m1)
x≡b(mod m2)
因为:
m|(x-b)、m1|m、m2|m→m1|(x-b)、m2|(x-b)
其中，限制条件m1≠m2极为重要 。我们来看下面这个反例:
x≡0(mod 8)的解集为:x1 = {0，8，16，24，32，40，48 …}
x≡0(mod 4)的解集为:x2 = {0，4，8，12，16，20，24 …}
x≡0(mod 2)的解集为:x3 = {0，2，4，6，8，10，12 …}
然后:X1?X2?X3.可以看出，模素因子2的三次方(2 ^ 3 = 8)的解集最小，模素因子2的二次方(2 ^ 2 = 4)的解集略大，模素因子2的一次方(2 ^ 1 = 2)的解集最大 。因此，组合模的拆解原则是:以不同的质因数为基本单位，当质因数的幂大或小时，保留较高的幂，丢弃较低的幂 。
(重要性
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