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数学建模是什么(数学建模经典题)( 二 )


高中阶段
在这个例子中 ， 学生将学习如何使用给定的斜率和垂直截距来写一个方程和画一个图形 。一个不涉及实际应用的问题可能是:让学生画一条斜率为2 ， 纵向截距为100的直线 ， 然后写出这条直线的方程 。
也许建模的第一步是将问题置于情境中:
艾米丽在一家零售店工作 ， 每周工资为100美元 ， 每卖出一件商品再加2美元 。写一个线性方程 ， 画一个图表 ， 显示艾米丽每周的收入和她一周卖出的商品数量之间的关系 。
有的同学可能会问:“我为什么要做这个图？”在这种情况下 ， 将数学情境化的尝试实际上可能会使数学工作看起来无关紧要 。
我们可以通过以下更改将此问题变成一个更开放、更有意义的问题:
节日快到了 ， 你最好的朋友凯伦想赚点钱买礼物 。她找到的第一份工作的工资比最低工资多2美元/小时 ， 另一份工作付给她最低工资的一半 ， 再加上每卖出一件物品的2美元佣金 。哪个工作比较好？为了帮助凯伦理解你的分析 ， 附上一段有用的陈述来帮助她做决定 。
学生必须做一些准备工作来回答这个问题 。他们可能需要找到最低工资 ， 他们也将不得不考虑“盈亏平衡点”——他们的朋友每小时必须销售多少商品才能赚到最低工资 。然后他们还要考虑凯伦是否有可能卖出这么多商品 ， 这可能取决于商品本身和凯伦的性格 。研究情况和做出假设是数学建模的要素 。
但这还不足以让学生回答这个问题 。厌恶风险的学生可能会建议凯伦选择第一份工作 ， 因为这份工作体面且有保障 。相反 ， 有冒险精神的学生可能会建议她选择第二份工作 ， 因为这可能会给她一个赚更多钱的机会 。决定盈亏平衡点只是这个问题的一个方面 。学生还必须考虑如何在不确定性面前做出决定 。他们的观点至关重要 ， 会影响到这个问题的答案 。他们仍然需要使用相同的数学模型来解决这个问题 ， 但他们必须根据现实情况调整他们的答案 ， 这使得数学更加相关和有趣 。判断影响因素和评价解的质量也是数学建模的组成部分 。
本科阶段
早在第一学期的微积分课中 ， 学生通常要学习如何用差商[f(x h)-f(x)]/h来近似求导 ， 并通过逐步减小步长h来计算 ， 例如 ， 假设学生已经掌握了差商的概念 ， 教材可能会给出以下问题:
函数f(x) = xex在x = 2处的导数用差商法近似求解 ， 使h = 0.1 ， h = 0.01 ， h = 0.001 。
我们可以通过添加情境 ， 把这些问题变成实际问题 。您甚至可以提供一些基于真实数据的信息 ， 如下所示:
降温速率有助于识别不稳定气流 ， 这对无人机飞行尤为重要 。降温速率定义为温度随高度增加而降低的速率 ， 或表示为γ=–dt/da ， 其中T为温度 ， A为高度 。已经测量了阿肯色州小石城空的典型十月天气的大气温度 ， 该温度大约由以下函数给出:
t(a)= 24.3–5.81 a 0.295 a–0.057 a 0.0024 a5 0.006 cos(a) ， 
这里T的单位是摄氏度 ， A是千米 。
当h = 0.1 ， h = 0.01 ， h = 0.001时 ， 用差商法近似求解11km高度的温降率 。
这个应用题虽然提供了一个情境 ， 但是没有给学生任何机会把自己的分析放回情境中 ， 从而解决更大的问题 。这个问题还是一个封闭的问题 。一个数学建模问题应该迫使学生在解决问题的过程中积极地做出一些决定 。这里有一个方法 ， 把上面的应用题修改成数学建模问题 ， 仍然让学生学会用差商近似求导的思想:
降温速率有助于识别不稳定气流 ， 这对无人机飞行尤为重要 。降温速率定义为温度随海拔升高而降低的速率 ， 表示为γ=–dt/da ， 其中T代表温度 ， A代表海拔 。已经测量了阿肯色州小石城空的典型十月天的大气温度 ， 该温度大约由以下函数给出:
t(a)= 24.3–5.81 a 0.295 a–0.057 a 0.0024 a5 0.006 cos(a) ， 
这里T的单位是摄氏度 ， A的单位是千米 。
你需要评估无人机在小石城执行监视任务的安全性空 。假设这架无人机在城市中11km左右的空高度飞行 ， 只要在海拔9km到15km之间飞行 ， 就可以完成这个任务 。如果温度下降率小于6℃/km ， 你的无人机绝对可以安全飞行；如果超过8°C/km ， 出于安全考虑 ， 你的无人机必须立即着陆 。用你对差商的了解来评估这个任务的安全性 ， 给你的上级提供一套建议 ， 包括你完成分析时所做的所有假设 。


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