现实世界模型、薛定谔的猫和神经网络之间的联系及Python示例 _生活百科

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述（最多18字任何科学分支都遵循着同一个目标——试图将函数映射到观测结果上。这个函数以近似的方式来解释现实世界模型，它可以是连续的，也可以是离散的，它的目的是找到输入和输出之间的对应关系。举几个例子:
物理学家寻求解释某些现象的函数
计算神经科学家使用函数来理解神经系统的原理
心理学家寻找解释人类思想和行为的映射函数
医学科学家仔细研究治疗疾病的疗法模式，这也是一种函数
我们知道，动力学可以通过导数来描述，该导数可以测量函数输出相对于输入变化的灵敏度。同时，函数与其导数之间的关系以微分方程的形式来定义。因此，物理学、工程学、经济学、生物学、心理学等领域的许多现象都可以通过使用微分方程来成功建模。微分方程可以用来计算电或热的运动或流动、物体的运动，甚至可以用来检查疾病的增长。整个反向传播算法可以看作是一个微分方程，其中误差的偏导数是用链式法则对权重进行计算的。
一方面，我们有一个未知的函数，另一方面，它的导数代表变化率。微分方程定义了两者之间的关系。
许多人都是通过“薛定谔的猫”的思想实验而知道埃尔文·薛定谔的，他也是量子理论领域的教父之一。薛定谔假设了一个方程(当然现在称为薛定谔方程) ，这个方程支配着量子力学系统的波函数，或者描述了量子粒子的位置。
“薛定谔方程”是理解量子物理和建立更清晰的现实世界模型的基本里程碑之一。该方程是一个线性偏微分方程，如下所示：

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述（最多18字其中 Ψ 是我们想要找到的未知波函数。薛定谔方程的特例数不胜数，许多都非常复杂，很多情况下它们无法解析求解。现在让我们专注于一个最简单的例子，即“薛定谔方程”对“盒子里的粒子”的求解，这很好地展示了经典系统和量子系统之间的差异。
想象一下，我们的粒子被困在两个无限势垒之间(这种情况有时被称为无限势阱) 。不过，粒子可以在墙壁之间自由移动。由于这是一个非常受限的情况，事实上，这是一个假设的例子，有一些方法可以简化我们的初始表达式，从而得到一个与时间无关的薛定谔方程，用于盒子里的单个粒子:

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述（最多18字我们最终得到了一个二阶微分方程。Ψ 函数描述了粒子的行为。位置、动量和能量可以从Ψ导出。
我们知道的是 Ψ(0) = 0 ， Ψ(a) = 0 ，而 Ψ 的二阶导数加上 Ψ 本身也为零！但是， Ψ 在区间 (0, a) 中不为零。
让我们将除方程本身之外的所有知识汇总在一起：
Ψ 是一个函数；
Ψ(0) = 0
Ψ(a) = 0
由于 Ψ 是一个函数，并且我们是数据科学家，我们可以利用通用逼近定理，它大致说明如下：

一旦神经元的数量足够，使用非多项式激活函数的前馈神经网络就可以将任何表现良好的函数逼近到任何精度。

该定理适用于多隐藏层和单隐藏层神经网络，基本上适用于任何激活函数（ReLU、GeLU、Sigmoid、Tanh 等）。
我们没有数据怎么办呢？
物理信息神经网络(Physics Informed Neural Networks ，简称pin)最近引起了特别的关注，主要是因为它们能够对多物理场和多尺度现实世界系统的动力学进行建模和预测。如果我们拟合的数据应该遵循某种物理定律，我们可以简单地将这种依赖关系添加到损失函数中，这使我们的机器学习模型尊重物理定律。