将军饮马何意？在几何上是求最值的模型，它是解答难题的钥匙 _生活百科

前言：记得去年一位初三毕业生发信息给我，咨询关于求三角形周长最值的问题。于是利用空闲时间，把题目抄下来，经过思考，翻阅资料，才知道这种类型的题目被冠以“将军饮马图”几何问题。考虑到很多学生对此问题迷茫，甚至冥思苦想几天，也不知道该怎么解答这类几何题，于是下定决心，写一篇文章，专门讲解这类的几何知识。

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图1将军饮马有一个典故，乃是讲到唐朝诗人李欣的《古从军行》中有这么一句话：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”这里面隐含着饮马图的基本模型，下图就是这个模型的初始图片。该图片之中，将军从山峰A点出发，走到营地B宿营，怎么走才是最短的距离？当然两点之间最短的距离是线段。而实际上最短距离是山峰到营地不是直线距离，这就要用到”将军饮马图“的原理。
本文根据《学而思几何模型》改编而来，有兴趣的朋友建议买一套学而思书籍，认真阅读，定会有很大收获。
一、将军饮马图的初始模型
这种例子比较简单，就是两点之间最短的距离是直线。两点之间线段最短是一个公理。又名线段公理。虽然听起来很简单，似乎也很好懂，但这是饮马图的最基本概念，其它的模型都是由此而产生的，这个公理和三角形中两边距离大于第三边是一个意思。

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图2两点之间有无数的连线，理论上来说可以是两条线段，或者更多的线段，甚至有很多有弧度的线条，但是最短的是线段。这种情况乃是指两点位于某条直线的两侧，直接连接两点就可以构成一条线段。
二、两点到线段同侧线段的最短距离
有时候，两点不是在线段的两侧，乃是在线段的两侧，要求两点到某条直线的最短距离，怎么求呢？这样的距离有很多组，可是只有一组是最短距离，求法还是根据饮马图原理。

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图3根据两点之间距离最短，因此要设法找到这样的点，可以过某一点作直线的对称点，然后连接这个对称点和另外一点，这个对称点到某点的直线距离就是要求的线段长度。细心的读者会发现，这种类型的作图法有两种，而且这两种所求的答案是一样的，如果把两点的对称点和这两点首尾相连，会构成一个等腰梯形，两条对角线是相等的。
三、三角形周长的最小值
设P为某角内一点，在射线l1,l2上分别找点M,N使得△PMN的周长最小。

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图4【将军饮马何意？在几何上是求最值的模型，它是解答难题的钥匙】这个题目中有两个动点M、N，难度明显加大，解题方法仍然是按照饮马图的要求来解答，还是设法把三条线段凑到一条线段上，有了这样的解题思路，解答题目就变得轻松，不再困难。这里有一个关键点，就是怎么找对称点，方法是以P点为对称点，分别作l1,l2的对称点。然后连接两个对称点。这两个点和l1,l2分别有交点，可以证明这两个对称点的连接线就是三角形的周长的最小长度。同样的道理，可以求出四边形的最小周长。