山东数学高考三角函数试题及解析?2013山东高考数学理科试题及答案 _生活百科

大家好！本文和大家分享一道2008年山东高考数学真题。这道题综合考查了简单的三角恒等变换、三角函数的求值、三角函数的图像与性质以及三角函数图像的变换等知识，高中学生应该掌握。本题的难度并不算大，但是正确率却不高。

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先看第一小问：求值。
显然，要求f(π/8)的值就要先求出函数f(x)的解析式。解析式怎么求呢？题干中已经给出了f(x)的一个表达式，但是这个表达式并不是最简形式，所以需要我们进行化简，最终变成一个角的一个三角函数名的形式。
观察f(x)的表达式，出现了“同角异名”的形式，所以可以想到用辅助角公式(asinx+bcosx=√(a^2+b^2)sin(x+φ)，其中tanφ=b/a)进行变换，即f(x)=2sin(wx+φ-π/6) 。

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接下来只需要计算出w和φ即可。
由于f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)，代入变换后的f(x)的表达式，并化简后可以得到：sinwxcos(φ-π/6)=0 。因为w≠0，且对任意实数x都成立，所以cos(φ-π/6)=0，即φ-π/2=π/2 。所以f(x)=2coswx 。
又因为f(x)两相邻对称轴间的距离为π/2，所以T/2=π/2，从而得到w=2，所以f(x)=2cos2x 。故f(π/8)=2cos(π/4)=√2 。

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第一小问的难度在于如何利用f(x)为偶函数这个条件求出φ的值。下面再介绍一种更加简单但很多学生却不能理解的方法。
用辅助角公式变换后，f(x)=2sin(wx+φ-π/6)为偶函数，而正余弦函数中，余弦函数才是偶函数，即y=±cosx为偶函数，且当x=0时，y=±1 。所以f(0)=±2，而sin(kπ+π/2)=±1，所以φ-π/6=kπ+π/2 。再根据题干中φ的范围就可以求出φ的值了。

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再看第二小问：求单调区间。
这一小问首先要用到三角函数图像的变换，这里面有三个需要注意的问题。
一是平移变换的时候要注意x前面的系数。比如本题中，f(x)图像向右平移π/6个单位后，得到的是y=2cos[2(x-π/6)]=2cos(2x-π/3)的图像，而不是y=2cos(2x-π/6)的图像。
二是横坐标的伸缩变换中，如果横坐标伸长为原来的n倍，那么x的系数不是变为原来的n倍，而是变为原来的1/n 。
三是横坐标伸缩变换只改变x的系数。比如本题中，横坐标伸长为原来的4倍，那么得到的是y=2cos(2x/4-π/3)=2cos(x/2-π/3)，而不是y=2cos(x/2-π/12) 。
经过上面的变换，可以求出g(x)=2cos(x/2-π/3)，在2kπ≤x/2-π/3≤2kπ+π内为减函数，求出x的取值范围就是g(x)的单调递减区间。