通俗演义微积分基本定理和公式的推导微积分基本定理 _小知识

微积分根本定理（通俗演义微积分根本定理和公式的推导）怎样求曲线x和直线x=0、x=10、x轴围成的面积？

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1 近似、暴力的办法：先分割、后求和就是把不规矩的图形分割为n个小的规矩(梯形或矩形）的图形，盘算n个小的规矩的图形的面积，累加起来去近似整体的面积。
如果是这样的一块地步，测量人员要去测量的话，他们会怎样做呢？一般会通过一个三角形去近似。会量一个底为10，高为70左右的一个三角形，面积大概是350左右。

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如果将区间[0,10]分成10个小区间，每个小区间的长度dx为1，在每个小区间[ti,tj]取点i（等于ti+0.5），每个dy=(ti+0.5)，则将全部面积划分为10个长方形：

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小区间求和的的情势就是：

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=0.5+1.5+2.5+3.5+4.5+5.5+6.5+7.5+8.5+9.5=332.5
2 极限或无限的办法引用极限或无限的概念，如果上述的dx→0（n→∞），i取每个小区间的右端点：

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有

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当n→∞，上述＝1000/3
3 定积分的办法也可以用定积分的情势表现：

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dx表现自变量在区间[0,10]的微分，xdx表现全部面积的微分，符号∫是英文“sum"首字母“s”的拉长，表现面积微分的累加。
下面我们就一般情况来讨论定积分的近似盘算问题。
若函数f(x)在区间[a,b]上持续，则下式定积分存在。

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我们将区间[a,b]分成n个长度相等的小区间

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每个小区间的长度均为dx=(b-a)/n，每个小区间任取i，则有

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（上限无限分割或定积分的办法不必定能求出极限值。）
4 由定积分变上限积分的面积函数上面的定积分所盘算出的都是一个特定的值（注意“定”这个字），不是一般的函数关系表达式。我们须要研讨一般规律的函数关系表达式（不包括符号∫，这样就可以不是每次都用极限的办法而用代入的办法可以直接求出）。能不能找到一个关于x的面积函数，也就是曲线x和直线x取任意值、x轴围成的面积函数，给出x的值，即可求出面积。
这样的面积函数的积分表达式可以表现为：

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面积函数F(x)如何用没有∫符号的表达式表现？可以斟酌的思路是，F(x)确定与曲线函数x有相干关系。
我们可以斟酌x曲线以外的一般情况y=f(t)，面积函数为A(x)，如下图：

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症结在于找出F(x)或A(x)的一般表达式，这个表达式是积分表达式的替代，从积分表达式可以看出，与面积微分f(t)dx或f(x)dx确定有关系，是什么关系呢？
5 由变上限积分的面积函数到一般表达式的面积函数当积分的上限为x，在此基本上，做自变量x和面积函数的微分，自变量x增长一个极小值h（dt）：

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上图淡红色的暗影部分, 当 h 很小的时候几乎为小竖条, 所以可以用盘算长方形面积的办法来估算该竖条的面积, 它的底从x 到x+h, 高从0 到f(x), 所以面积是 h*f(t) , 也就是:

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表达式hf(x)就是面积函数F(x)的微资源网分，函数的微分/自变量的微分称为微商，也称为导函数或导数，用F‘(x)表现。导数的情势在必定情况比微分的情势更简练，微分也可以由导数迂回求得，如上式可有如下推导：

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由此可见，曲线函数f(x)的反导数就是面积函数F(x)，这就是微积分的根本定理。
上述黑色部分的面积可以表现为：F(x)-F(a)，这就是微积分的根本公式。
函数的导数是一个函数的因变量相对于自变量变更的快慢，即“变更率” 。可以用来求函数的最值、曲线在某一点的切线的斜率、变速活动的瞬时速度。