三角形内角和一定是 180°吗？三角形内角和是多少度 _小知识

如果有人问你：“三角形内角和等于多少？”你确定会不假思索地告知他：“180！”
假如那个人说不是180，那么你可能会以为他无知。
其实，“三角形内角和等于180”只是欧几里得几何学（Euclid Geometry）中的一个定理。也就是说，在欧几里得几何学里，一个三角形的内角和等于 180，但如果跳出欧几里得几何学的规模，一个三角形的内角和就不必定等于 180！
举个栗子，地球的赤道、0 度经线和 90 度经线相交构成一个“三角形”，这个“三角形”的三个角都应当是 90，资源网它们的和就是 270！

文章插图
你觉得奇异吗？你知道除了欧几里得几何（欧氏几何）学外，还有其他几何学吗？这些几何学称为非欧（欧几里得）几何学。
欧式几何
想要摸索非欧几何，先要懂得欧式几何。欧几里得几何指依照古希腊数学家欧几里得的《几何本来》结构的几何学。有时单指平面上的几何，即平面几何。数学老师课堂上教授的就是欧式几何。它有以下几条简略的公理：
1、任意两个点可以通过一条直线衔接。
2、任意线段能无穷延伸成一条直线。
3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
4、所有直角都全等。
5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边一定相交。
这五条“显然”的公理是平面几何的基石，我们也是仰仗这些公理干掉了一道道几何标题。但机灵的你有没有发明第五公设（平行公设）和前面的四个公设比拟起来，文字叙述冗长，而且不那么显而易见，有违数学的简练美感呢?
在《几何本来》中，证明前28个命题并没有用到这个公设，这很自然引起人们斟酌：这条啰哩八嗦的公设是否可由其他的公理和公设推出，也就是说，平行公设可能是过剩的。
罗氏几何的出生
因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依附前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最有名的，争辩了长达2000多年的关于“平行线理论”的讨论。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐疑惑证明的门路走得不对。第五公设到底能不能被证明？
到了十八世纪，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基（ Lobachevsky）在证明第五公设的进程中走了另一条路。罗巴切夫斯基的爸爸“老罗”也一生致力于研讨第五公设的证明，但并没有什么结果，老罗曾告诫自己的儿子“小罗”：“你不要搞第五公理了，我都研讨一辈子了，都没搞出来，这简直是数学家的噩梦。”
然而小罗并没有听从老爸的建议。他提出了一个和欧氏平行公理相抵触的命题“过直线外一点，至少可以作两条直线和已知直线不相交”，用它来取代第五公设，然后与欧氏几何的前四个公设联合成一个公理体系，展开一系列的推理。他以为如果这个体系为基本的推理中涌现抵触，就等于证明了第五公设。我们知道，这其实就是数学中的反证法。

文章插图
罗氏几何符合双曲面模型
但是，在他极为过细深刻的推理进程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无抵触的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个主要的结论：
第一，第五公设不能被证明。
【三角形内角和一定是 180°吗？三角形内角和是多少度】第二，在新的公理体系里展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上没有抵触的新的定理，并形成了新的理论系统。这个理论系统像欧氏几何学的理论系统一样是完备的、周密的。

文章插图
左：欧式几何右：罗氏几何
这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何学，简称罗氏几何学（Lobachevskian geometry），也是我们最早发明的非欧几何学。
罗氏几何学的公理体系和欧氏几何学不同的处所，仅仅是把欧氏几何学平行公理“过直线外一点，能并且只能作一条直线平行于已知直线”用“过直线外一点，至少可以作两条直线和这条直线平行”来取代，其他公理根本雷同。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧氏几何学内容不同的新命题。