详细解释，从入门到实践，逐步讲解经典中的经典算法，动态规划 _动态规划

动态规划的重要性就不多说,直接进入正题
首先,我们看一下官方定义:
定义:动态规划算法是通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题能够以递推（或者说分治）的方式去解决。
动态规划算法的基本思想与分治法类似，也是将待求解的问题分解为若干个子问题（阶段），按顺序求解子阶段，前一子问题的解，为后一子问题的求解提供了有用的信息。在求解任一子问题时，列出各种可能的局部解，通过决策保留那些有可能达到最优的局部解，丢弃其他局部解。依次解决各子问题，最后一个子问题就是初始问题的解。
基本思想与策略编辑:由于动态规划解决的问题多数有重叠子问题这个特点，为减少重复计算，对每一个子问题只解一次，将其不同阶段的不同状态保存在一个二维数组中。
(来自百度百科)
说实话,没有动态规划的基础很难看懂,但是也能从中看出一些信息,下面我翻译成人话:
首先是拆分问题,我的理解就是根据问题的可能性把问题划分成一步一步这样就可以通过递推或者递归来实现.
关键就是这个步骤,动态规划有一类问题就是从后往前推到,有时候我们很容易知道:如果只有一种情况时,最佳的选择应该怎么做.然后根据这个最佳选择往前一步推导,得到前一步的最佳选择
然后就是定义问题状态和状态之间的关系,我的理解是前面拆分的步骤之间的关系,用一种量化的形式表现出来,类似于高中学的推导公式,因为这种式子很容易用程序写出来,也可以说对程序比较亲和(也就是最后所说的状态转移方程式)
我们再来看定义的下面的两段,我的理解是比如我们找到最优解,我们应该讲最优解保存下来,为了往前推导时能够使用前一步的最优解,在这个过程中难免有一些相比于最优解差的解,此时我们应该放弃,只保存最优解,这样我们每一次都把最优解保存了下来,大大降低了时间复杂度
说很难理解清楚,容易懵懵懂懂的,所以下面结合实例看一下(建议结合实例,纸上谈兵不太好):
经典的数字三角形问题(简单易懂,经典动态规划);

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可以看出每走第n行第m列时有两种后续:向下或者向右下
由于最后一行可以确定,当做边界条件,所以我们自然而然想到递归求解
解题思路:

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下面简单写一下JAVA代码:

//java代码纯属自己练习,标准答案参考上面的C语言答案class solution{	public int getMax(){int MAX = 101;int[][] D = new int[MAX][MAX];//存储数字三角形int n;//n表示层数int i = 0; int j = 0;int maxSum = getMaxSum(D,n,i,j);return maxSum;	}	public int getMaxSum(int[][] D,int n,int i,int j){if(i == n){return D[i][j];}int x = getMaxSum(D,n,i+1,j);int y = getMaxSum(D,n,i+1,j+1);return Math.max(x,y)+D[i][j];	}}

【详细解释，从入门到实践，逐步讲解经典中的经典算法，动态规划】其实仔细观察,上面的解答过程时间复杂度难以想象的大,那是因为他对有的数字的解进行了多次的重复计算,具体如下图:

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如果不明白上图,可以把每条路径都画出来,观察每个数字有多少条路径经过了他,就会一目了然
然后我们就可以自然而然的想到,如果我们每次都把结果保存下来,复杂度就会大大降低

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其实答案很简单:

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其实,仔细观察该解题过程,该过程就是标准的动态规划解题过程,如果把该过程画出来(找到每一步的最优解,其他的舍弃)对动态规划会有更深刻的解法
还有就是,递推的另一个好处是可以进行空间优化,如图:

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下面总结一下动态规划的解题一般思路:
首先递归应该是我们解决动态规划问题最常用的方法,帅,速度不算太慢
那么递归到动规的一般转化方法为:
如果该递归函数有n个参数,那么就定义一个n维数组,数组下标是递归函数参数的取值范围(也就是数组每一维的大小).数组元素的值就是递归函数的返回值(初始化为一个标志值,表明还未被填充),这样就可以从边界值开始逐步的填充数组,相当于计算递归函数的逆过程(这和前面所说的推导过程应该是相同的).