贝叶斯定理如何帮助赢得第二次世界大战破解日本海军密码JN25
1943年 ， 第二次世界大战期间 ， 美国和英国的加密分析师都在疯狂地试图破译轴心国军事分支发送的加密通信 。
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在这些努力中 ， 位于布莱奇利公园（Bletchley Park）的英国密码破解中心可能以Bombe的发源地而闻名 ， 该机器最终破解了臭名昭著的德国密码Enigma 。 尽管孟买及其后继模型受到了大多数公众的关注 ， 但如果没有统计方法的支持 ， 他们的努力往往是徒劳的 。 本文的目的是首先介绍一种方法 ， 即贝叶斯推理 ， 首先介绍其背后的理论 ， 然后概述其如何用于破解Axis密码 。
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第一部分将致力于打破日本海军密码JN 25 ， 而第二部分将概述贝叶斯推理在破解《谜》中的作用 。 该报告的大部分内容基于爱德华·辛普森（Edward Simpson）撰写的一篇文章 ， 该文章是在Bletchley Park工作的代码破坏者之一 。 本文试图通过回顾贝叶斯形式主义并执行仅在Simpson文章中隐含的大部分数学运算 ， 来使该主题更易于访问 。
定理
像许多其他著名理论一样 ， 贝叶斯定理非常简单：
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该公式本身易于导出 ， 并且在贝叶斯统计之外具有许多应用 。 但是 ， 它的简单性可能是骗人的 ， 因为大多数定理的能力在于对涉及的概率P的解释 。 几个世纪以来一直存在于贝叶斯定理的真正争议在于它的用法挑战了更传统的常客主义方法 。 所谓的常客将事件的可能性定义为''在许多试验中其相对频率的极限'' 。 贝叶斯主义者将概率解释为个人信念的量度 。
有人可能会问 ， 他们怎么敢在数学理论中包含主观信念 。 说出这种批评 ， 肯定会有好伙伴 。 许多统计重量级人物 ， 包括Fisher和Pearson ， 都基于相似的论点放弃了对概率的贝叶斯解释 。
要真正理解两种方法之间的区别并能够通过公正的判断 ， 让我们考虑以下示例：
想象一个朋友向你挑战掷硬币游戏 ， 并立即产生她想使用的硬币 。 在同意此游戏之前 ， 你本性相当可疑 ， 所以想确定她递给您的硬币是公平的 ， 即它落在头和尾上的机会是相等的 。
惯常做法
一个常客将这个问题作为假设检验 ， 用零假设H?进行解释：硬币是公平的 ， 而替代假设H?不是 。 然后 ， 她将决定进行多次试验（例如= 100）和置信度（例如 = 0.05） 。 翻转硬币次后 ， 将记录结果 。 如果我们让表示观察到正面的次数 ， 并且硬币落在正面上的概率 ， 则按照二项式分布 ， 得出特定结果的概率为：
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给定置信度之后 ， 她可以计算拒绝区域 ， 这意味着可以安全拒绝否定假设H?：= 0.5的间隔 。 可以通过求解获得该区域
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* 。 值得庆幸的是 ， 过去人们已经解决了这类问题 ， 因此与其直接自己解决方程式 ， 不如直接在表中查找其解决方案或使用任何统计软件为她提供答案 。 事实证明 ， 对于此问题 ， * = 10 ， 因此如果| ?50 |> 10 ， 或者等效地如果40 <40或> 60 ， 则H?可以被拒绝 。
让我们假设在100次硬币翻转中 ， （=）73成为正面 。 现在 ， 常客可以得出结论：该硬币已被操纵 ， 并且得出错误结论的可能性小于5％（置信度） 。
贝叶斯方法
支持贝叶斯统计的公司您进入了现场 。 您对''时间浪费''感到震惊 ， 并建议所有这些工作都可以通过更少的试验来完成 。 要了解您如何进行 ， 请首先回顾一下贝叶斯定理：
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