数学|这些数学题做不出？不是你的错！( 二 )
现在还剩一个“将圆变方”的问题没有解决 。这还需要一点新东西 。1882年 ， 林德曼得到了关键的结果 。通过证明π是超越数——因而π不是任何多项式的根——林德曼证明了π是无法利用尺规作图构造出来的 。所以“将圆变方”的尺规作图也是不可能实现的 。
七桥问题
让我们看看一个稍晚一些的“不可能”问题 ， 它来自于简单的过桥问题 。在匹茨堡就有很多桥梁 ， 这时有一个爱冒险的自行车手想出一个点子 ， 他想知道自己能不能从家里出发 ， 然后在横跨匹茨堡主要河流的22座桥梁上各自只通过一次 ， 最后重新回到家呢？
时间来到1735年 ， 普鲁士的一位市长就向欧拉提出过同样的问题：哥尼斯堡有七座桥 ， 连接三个河岸和一个岛屿 ， 能不能不重复地走完全部的桥？起初 ， 欧拉回绝道：“这问题跟数学无甚联系 ， 你为什么指望数学家能给你解答呢？”
然而 ， 欧拉很快就证明了这是不可能的 ， 同时开辟了一个领域 ， 称之为“位置的几何学” 。现在我们叫它拓扑学 。他认识到 ， 确切的细节（比如桥的精确位置、陆地的形状等等）并不重要 ， 重要的是它们如何连接 。后来的数学家用图论精简了欧拉的论证 。这种“连通性”的概念是研究社交网络、互联网、流行病学、语言学、路线规划等问题的核心 。
文章图片
文章图片
图2哥尼斯堡七桥问题欧拉摈除了不重要的细节 ， 只留下最基本的元素 ， 证明了无法不重复也不遗漏地走完这座城市的七座桥 。后来这种方法表示成了更抽象的“图” 。
欧拉的证明出人意料的简单 。他推理说 ， 每次我们进入和离开一片陆地都必须经过两座桥 ， 因此每块陆地上桥的个数必须是偶数 。哥尼斯堡的每块大陆都有奇数座桥 ， 所以这种路线是不存在的 。类似的 ， 我们的自行车手如果想在匹茨堡的阿勒格尼河上的3座桥上完成自行车环行 ， 这在数学上也是不可能的 。
不仅仅是数学
关于“不可能”的证明不但影响了抽象数学 ， 也影响了现实生活 ， 甚至政治领域 。
最近 ， 数学家们把注意力转向了“格里蝾螈”（gerrymandering） 。“格里蝾螈”指的是美国的一种政治现象：每次人口普查后 ， 各州必须重新划定自己的国会选区 ， 执政党为了最大限度地扩大自己的席位 ， 实现政治权力最大化 ， 有时会将一个州的领土划分成十分怪异的形状 ， 比如像一只张牙舞爪的火蜥蜴 。
文章图片
文章图片
（图源网络）1812年 ， 马萨诸塞州议员为了政党利益 ， 在埃塞克斯县边缘 ， 划出了一个形状奇怪的区域 ， 格里蝾螈一词由此而来 。
许多州要求选区必须是“紧凑的” ， 这个术语起初并没有固定的数学定义 。1991年 ， 丹尼尔·波尔斯比和罗伯特·波普尔提出 ， 可以用4πA/P2将“紧凑”的程度量化 ， 其中A是面积 ， P为周长 。圆形的区域得分为1 ， 扭曲畸形的区域得分为0 。
2014年 ， 尼古拉斯·斯特凡诺普洛斯和埃里克·麦基提出了另一个衡量重新划分选区的政治公平性的指标：“效率缺口” 。一个政党为了让对手党浪费的选票最大化 ， 会有两个划分选区的策略：要么让对手党的选票刚好低于50% ， 要么使之尽量接近100% 。任何一种策略都会迫使其他党派把选票浪费在失去候选人或赢得不需要选票的候选人身上 。。效率缺口描述了浪费选票的相对值 。
以上两种都是检测格里蝾螈的有效手段 。但在2018年 ， 鲍里斯·阿列克谢耶夫和达斯汀·密克逊证明一个结论：“有时 ， 只有形状怪异的地区才有可能出现小的效率缺口 。”也就是说 ， 从数学上讲 ， 选区的形状并不总是能同时满足以上两种检测公平性的条件 。
推荐阅读
- 爱因斯坦|爱因斯坦高中时数学不好？成绩单公布，原来他是“学霸”
- 新冠肺炎_国际|心真大！白宫还不对这些人做接触者追踪
- |2020 年诺贝尔物理学奖颁布 获奖者用数学证明黑洞的形成
- 国际艺术|彻底禁烟了，这些荷兰特色的吸烟柱要送博物馆了
- 中国|有人预警：这些对华行动，可能会威胁到美国及其盟友的安全
- 新冠肺炎_国际|万圣节还能“讨糖”么？美国疾控中心给出这些建议
- |英国家长这样“刺激”孩子学习数学 称“数学真的很重要”
- |中科大少年班校友85后孙崧获新视野数学奖：破解丘成桐猜想
- 国际局势|菅义伟召开胜选后首次记者会 透露要集结这些人进新内阁
- 国际局势|看看美政客这些被“打脸”瞬间，真疼