数学|这些数学题做不出？不是你的错！
许多问题本就无解 ， 但数学家们仍在苦苦钻研 。
与其将这些经典问题当成引人坠入深渊的妖魔 ，
不如将其看作激发创造思维的缪斯女神 。
不可能的问题
我们总说：“世上无难事” 。在诺顿·贾斯特的小说《神奇的收费亭》中 ， 国王因为“许多事情 ， 只要你相信 ， 它就能实现”而拒绝告诉米洛他的探索是不可能的事情 。然而 ， 现实中有些事确实办不到 ， 这一点是可以用数学证明的 。
“不可能”的含义有很多：它可以描述“几乎不可能发生的事情” ， 比如两幅扑克被洗过牌后 ， 顺序仍完全一致；也可以描述“由于时间、空间或资源不足而几乎不可能实现的任务” ， 比如把国家图书馆中的藏书全部誊写一遍；还可以指“自然法则不允许存在的东西” ， 比如永动机 ， 它的存在违背了物理原理 。
但数学上的“不可能”与这些都不同 。我们用明确的假设、数学的推理和严密的逻辑证明某些结果是不可能的 。再多的运气、毅力、时间或技能都无法改变这一事实 。数学史中 ， 关于不可能的证明数不胜数 ， 许多还是最负盛名的数学成果 。然而 ， 情况并非总是如此 。
不“万能”的尺规作图
毕达哥拉斯的追随者希帕索斯可能是第一个证明“不可能”的人 ， 他因此遭受了严厉的惩罚 。历史学家认为 ， 公元前五世纪时希帕索斯发现 ， 要想用同一条线段首尾相接地测量正五边形边长和对角线长度是办不到的 。边长为1的正五边形 ， 对角线长度是φ=(1+√5)/2 ， 今天我们将这种数称之为“无理数” 。希帕索斯的发现违背了毕达哥拉斯学派“一切都是数字”的信仰 ， 因此 ， 传说他要么在海上淹死了 ， 要么被驱逐出了毕达哥拉斯学派 。
一个多世纪后 ， 欧几里得赋予了直线和圆“几何学基本曲线”的地位 。于是 ， 一代又一代的几何学家在解决诸如平分角、画垂直平分线等等问题时 ， 开始只使用圆规和直尺 。某些看似简单的问题 ， 令希腊几何学家一筹莫展 ， 诸如将任意角三等分、将正方体体积变为原来的两倍、构造任意正多边形、构造一个与圆相同面积的正方形 。这些问题最终到达了神话般的高度 ， 困扰了数学家两千多年 。
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图1 古老的问题仅用尺规作图 ， 能够画出下列结构吗？
左上：将任意大小的角三等分；右上：构造正方体的一条边 ， 使新正方体的体积等于给定正方体的两倍；左下：构造正n边形 ， n是大于2的任意整数；右下：画出一个与给定圆面积相同的正方形
虽然这些本质上是几何问题 ， 但证明它们不可解却需要新的数学理论 。
17世纪 ， 笛卡尔有了一个根本性的发现：给定一条长度为1的线段后 ， 尺规作图只能构造出能用整数和加、减、乘、除、平方根表示出来的长度 ， 比如黄金分割数(1+√5)/2 。
因此 ， 只要证明某一长度写不成上面的形式 ， 也就证明了它没法用尺规作图画出来 。这要用到彼时方兴未艾的领域——代数 。
两个世纪后的1837年 ， 笛卡尔的同胞皮埃尔·万策尔运用“多项式和多项式的根”的思路攻克了这一经典问题 。万策尔证明了能用尺规画出的长度 ， 必须是2n阶多项式的根 ， 也就是说 ， 多项式中最高次项的次数必须是2的幂 。例如 ， 黄金比例是多项式x2?x?1的根 ， 所以可以通过尺规作图画出；在立方倍增问题里 ， 将棱长为1的正方体体积增加一倍后得到的立方体棱长是3√2 ， 它是多项式X3-2的根 ， 仅仅利用尺规作图是画不出的 。
利用类似的方法 ， 他还证明了无法通过尺规作图将任意角三等分 ， 或者构造出任意正多边形（比如正七边形） 。值得注意的是 ， 这三个关于不可能的证明都出现在同一页上 。就像艾萨克·牛顿和阿尔伯特·爱因斯坦的“奇迹年”一样 ， 我们也可以将其称之为“奇迹一页” 。
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