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今日必看|说无限道无限，—半是神经一半是神的康托，开启数学危机的魔盒


倘若有人说：“我的一根头发丝上的点和宇宙空间的点一样多 。 ”你可能以为他在说胡话 。 实在 ， 只要摆脱“有限”概念的束缚 ， 就会相信他的话是对的 。
虽说人类早在两千年前就有了“无穷”的熟悉 ， 但真正接触无穷本质的人并不多 。 可能是意大利科学家伽利略最早触及到实质的 。 他把全体自然数与它们的平方一—对应起来：
1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， …
1^2 ， 2^2 ， 3^2 ， 4^2 ， 5^2 ， …
他发现 ， 两串数一样多 ， 将第二串数稍加计算会发现 ， 它们都是第一串数中的数 ， 而第一串数中有的数 ， 第二串数中并没有 ， 如2 ， 3 ， 5 。 可见第二串数是第一串数的一部分 。 部门怎么能即是整体呢？伽利略感到疑惑了 ， 他至死也没弄清楚 。
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17世纪的数学终于迎来了新生 。 牛顿和莱布尼茨独自发明了微积分 ， 却引发了数学的第二次危机 。 微积分计算的严格性经常被人诟病 ， 迫切地需要数学理论的澄清 。 到了19世纪 ， 因为分析的严格化和函数论的发展 ， 数学家们对无理数理论、不连续函数理论的研究更是需要理解无限集合的性质 。 了解“无限”并深入“无限”成了迫在眉睫的需求 。
时代呼叫着天才 。 真正从本质上熟悉“无穷”的 ，是年青的德国数学家 ， 29岁的柏林大学教授乔治康托尔（G 。 Cantor ， 1845年3月3日—1918年1月6日） 。 他的精彩工作 ， 起于公元1874年 。
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康托尔的研究是从计数开始的 。 他发现人们在计数时 ， 实际上应用了一 一对应的概念 。 好比教室有50个座位 ， 老师走进教室 ， 一看坐满了人 ， 不需点数 ， 便可知道听课人数是50 。 倘若空了几个座位 ， 立即会知道 ， 听课学生少于50 ， 这是因为“部门小于整体”的缘故 。 然而 ， 这是有限情况下的规律 ， 对于无穷情况 ， 就像前面伽利略例子一样 ， 部门可能即是整体！这 ， 恰是无穷的本质！
经由深刻的思索 ， 康托尔教授得出了一个重要结论：假如一个量即是它的一部分量 ， 那么这个量必是无限量；反之 ， 无限量必然可以即是它的某一部分量 。 接着 ， 康托尔教授又引进了无穷集基数的概念 。 他把两个元素间能建立起一—对应的集合 ， 称为有相同的基数 。 例如 ， 自然数集与自然数平方的数集有相同的基数 。 自然数集与有理数集也有相同的基数（康托尔有证实 ， 略去） 。
【今日必看|说无限道无限，—半是神经一半是神的康托，开启数学危机的魔盒】因为自然数集的元素是可以从1开始 ， 逐个点数的 ， 所以凡是与自然数集基数相同的集合 ， 都具备可数的特性 。 可见 ， 可数集基数 ， 是继有限数之后 ， 紧挨的一个超限数 。
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还有无其他超限基数？有 。 例如 ， 图1能清晰地表明圆周与直线上的点能建立起一—对应 ， 可见有限长园上的点 ， 与无穷长直线上的点一样多 。
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这样 ， 就证实了 ， 一块具有一定面积的图形上的点 ， 可同面积为零的线段上的点一样多！
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他以卓绝的聪明成就完成了这一宏图伟业 ， 让人们得以一窥连接着无限世界的大门内无比辉煌的宝藏 。
为了掌握和认知无穷的集合 ， 康托创造性地将一一对应和对角线方法运用到集合论的奠基性研究当中 。 康托极其深刻地意识到：假如两个无限集合的元素能建立一一对应 ， 那么这两个无限集合的个数就应该被视为同样多 。 在这种思惟下 ， 康托很快就发现偶数的个数和自然数的个数一样多 ， 甚至和整数的个数也一样多 。 换句话说 ， 偶数的个数所组成的无限和整数的个数所组成的无限是一样大！


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